面積分

質問

xyz空間上の半径1の球面でxy平面上(z≧0)の半球面をＳとする。

∫[s]ds・(2xex-yey+2zez)の面積分を求めよ。
ex,ey,ezは単位ベクトル

x=rcosφsinθ　y=rsinφsinθ　z=rcosθ
ここからどうすればよいですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

xyz空間上の半径1の球面でxy平面上(z≧0)の半球面をS
半球面上の点をX
半球面の法線ベクトルをn
A=(2x,-y,2z)=2xex-yey+2zez
とすると
S={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1,z≧0}
S={(x,y,z)|(x,y,z)=(cosφsinθ,sinφsinθ,cosθ),0≦θ≦π/2,0≦φ≦2π}
n=X=(x,y,z)=(cosφsinθ,sinφsinθ,cosθ)
(A,n)=2x^2-y^2+2z^2
(A,n)=2(cosφsinθ)^2-(sinφsinθ)^2+2(cosθ)^2
(A,n)={2(cosφ)^2-(sinφ)^2}(sinθ)^2+2(cosθ)^2
2(cosφ)^2=1+cos(2φ)
(sinφ)^2={1-cos(2φ)}/2
2(cosθ)^2=1+cos(2θ)
(sinθ)^2={1-cos(2θ)}/2
(A,n)={1+cos(2φ)-{1-cos(2φ)}/2}{1-cos(2θ)}/2+1+cos(2θ)
(A,n)=[{1+3cos(2φ)}{1-cos(2θ)}+4+4cos(2θ)]/4
(A,n)=[5+3cos(2θ)+3cos(2φ){1-cos(2θ)}]/4

∂X/∂θ=(cosφcosθ,sinφcosθ,-sinθ)
∂X/∂φ=(-sinφsinθ,cosφsinθ,0)
dS=|(∂X/∂θ)×(∂X/∂φ)|dθdφ
dS=|(cosφ(sinθ)^2,-sinφ(sinθ)^2,cosθsinθ)|dθdφ
dS=|sinθ|dθdφ
dS=sinθdθdφ
(A,n)sinθ=[5sinθ+3cos(2θ)sinθ+3cos(2φ){1-cos(2θ)}sinθ]/4
(A,n)sinθ=[5sinθ+3cos(2θ)sinθ+3cos(2φ){sinθ-cos(2θ)sinθ}]/4
↓sinθcos(2θ)={sin(3θ)-sinθ}/2
(A,n)sinθ=[5sinθ+3{sin(3θ)-sinθ}/2+3cos(2φ){sinθ-{sin(3θ)-sinθ}/2}]/4
(A,n)sinθ=[7sinθ+3sin(3θ)+3cos(2φ){3sinθ-sin(3θ)}]/8

∫[S]dS・(2xex-yey+2zez)
=∫[S](2x,-y,2z)dS
=∫[S]AdS
=∫[S](A,n)dS
=∫[S](2x^2-y^2+2z^2)dS
=∫[0≦θ≦π/2,0≦φ≦2π]([7sinθ+3sin(3θ)+3cos(2φ){3sinθ-sin(3θ)}]/8)dθdφ
=(2π)(7/8)∫[0～π/2]sinθdθ+(2π)(3/8)∫[0～π/2]sin(3θ)dθ
+(3/8)∫[0～π/2]{3sinθ-sin(3θ)}dθ∫[0～2π]cos(2φ)dφ
=(2π)(7/8)[-cosθ]_[0～π/2]+(2π)(3/8)[-cos(3θ)/3]_[0～π/2]
=(2π)(7/8)+(2π)(3/8)/3
=2π

お礼

詳しい解説ありがとうございます。