3重積分についての解法と問題点
- 3重積分についての解法と問題点を解説します。
- 質問文章では、領域D内の関数|x| + |y| + |z|の3重積分についての問題が示されています。
- 極座標変換を用いて解析する方法が示されていますが、変換の手順に間違いがある可能性があります。
- ベストアンサー
3重積分について
∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3 領域D:{x^2 + y^2 + z^2≦a^2, a>0}という問題で、解が(3πa^4)/2になるはずなのですが、極座標に変換する段階でいまいち分かりません。自分なりにやると、 x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ (0≦r≦a, 0≦θ≦π, 0≦φ≦2π)として、ヤコビアンがr^2 sinθになり、 ∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3 =∫[0→2π]dφ∫[0→π]dθ∫[0→a]dr (r^2 sinθ)(rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ) このようになるのですが、自分がこれを解いていくと違った解になり、正解にたどり着きません。この変換が間違っているのでしょうか？単に途中の計算が間違っているのでしょうか？ よろしくおねがいします。
- tori03
- お礼率87% (7/8)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
>∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3 >=∫[0→2π]dφ∫[0→π]dθ∫[0→a]dr (r^2 sinθ)(rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ) 対称性を利用して ∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3 =8*∫[0→π/2]∫[0→π/2]∫[0→a] (r^2 sinθ)(rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ)drdθdφ で，やってみてください。
関連するQ&A
- 3重積分 楕円体での変数変換
3重積分において普通の球座標の変数変換は理解できるのですが D｛ (x,y,z) | 楕円体 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1 (a,b,c＞0) ｝ で x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが 球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学の微分積分 ヤコビアンについて
ｘ＝ｒsinθcoｓβ、 ｙ＝ｒsinθsinβ、 z=rcosθのとき jacobian δ（ｘ、ｙ、ｚ）/δ（ｒ、θ、β）を求めよ 一部ギリシャ文字がよめませんでした・・・ δは偏微分の意味を表しています 解説付きでお願いします!
- 締切済み
- 数学・算数
- 極座標系における∇×Aの計算
直交座標系(x,y,z)を極座標系(r,θ,ψ)に変換すると x=rsinθcosψ y=rsinθsinψ z=rcosθ となりますよね。 これを用いて極座標系で∇×Ａを計算すると、 その演算結果は以下のようになるらしいのですが、 その導出過程が分かりません。最初の 1/r^2sinθはヤコビアンで補正をかけているような 気がするのですが、その他の項には1/rsinθや1/rが 出てきてこれらが何を表しているのかさっぱり？で、 やっぱり分かりません。宜しければ教えていただけないでしょうか？(第1行目の(^r),(^θ),(^ψ)はそれぞれの 方向の単位ベクトルです。)お願いいたします。 ∇×Ａ＝ ｜(^r)/r^2sinθ (^θ)/rsinθ (^ψ)/r ｜ ｜ ∂/∂r ∂/∂θ ∂/∂ψ ｜ ｜ A_r rA_θ rsinθA_ψ ｜
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分
広義積分の問題なのですが，変数変換をすると，積分範囲がどうしても0→0になってしまいます…。 問題は D={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1} lim(ε→0) ∬{(x^2-y^2)/(x^4+y^4})dxdy という問題なのですが，これを x=rcosθ，y=rsinθ,ヤコビアン=r D'={(r,θ)∈R^2|ε≦r≦1，0≦θ≦2π} ∫(1/r)dr∫{(cos^2θ-sin^2θ)/(cos^4θ+sin^4θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/((cos^2θ+sin^2θ)^2-2cos^2θsin^2θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/(1-(sin2θ)^2/2)}dθ =∫(1/r)dr∫{2cos2θ/(2-(sin2θ)^2)}dθ ここでt=sin2θと変数変換しようとしたのですが， そうすると積分範囲が0→0になってしまします。。。 どこか間違っているのでしょうか?? どなたか解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の変数変換について
積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。 x = x(r,θ) = rcosθ. y = y(r,θ) = rsinθ. であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#) となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは dxdy →drdθ ではなく、 dxdy →rdrdθ としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ｜dx｜=｜cosθ -rsinθ｜｜dr ｜ ｜dy｜ ｜sinθ rcosθ｜｜dθ｜ └ ┘ └ ┘└ ┘ |J| =｜cosθ -rsinθ｜= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r ｜sinθ rcosθ｜ のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。 一方で rdrdθ= rdθ*dr は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には ∫[0～2π]∫[0～R]rdrdθ で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ（笑）、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。 で、ここからが質問なのですが・・・ 直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか？ たとえば x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w) ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ｜dx｜ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ｜｜du｜ ｜dy｜=｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜｜dv｜ ｜dz｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜｜dw｜ └ ┘ └ ┘└ ┘ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w｜ |J| =｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜ であるとき dxdydz = |J|dudvdw という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。 任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 陰関数そのものを使った積分の計算法
いろいろな曲線の表示において、微分や積分の計算法を整理してみました。 x^2+y^2=4上の点(x,y)=(1,√3)でのdy/dxの値の求め方。 陽関数。y=√(4-x^2)よりdy/dx=-x/√(4-x^2)。x=1のとき、dy/dx=-1/√3。 媒介変数。x=2cos(θ),y=2sin(θ)とすると、dy/dx=dy/dθ÷dx/dθ=-cos(θ)/sin(θ)。 θ=π/3のとき、dy/dx=-1/√3。 逆関数。x=√(4-y^2)よりdy/dx=1÷dx/dy=-√(4-y^2)/y。y=√3のとき、dy/dx=-1/√3。 極座標に変数変換。(x,y)→(r,θ) (ただし、x=rcos(θ),y=rsin(θ))とすると、(1,√3)→(2,π/3)。 x^2+y^2=4→r=2。dx=cos(θ)dr-rsin(θ)dθ、dy=sin(θ)dr+rcos(θ)dθ。dr/dθ=0。 よって、dy/dx=-cos(θ)/sin(θ)。θ=π/3のとき、dy/dx=-1/√3。 陰関数。2x+2y(dy/dx)=0より、dy/dx=-x/y=1/√3。 y≧0,x^2+y^2≦4の面積の求め方。 陽関数。境界はy=√(4-x^2)より∫[-2,2]ydx=∫[-2,2]√(4-x^2)dx=[(1/2)√(4-x^2)+2arcsin(x/2)] [-2,2] = 2π 媒介変数。境界をx=2cos(θ),y=2sin(θ)とすると、∫[-2,2]ydx=∫[π,0]2sin(θ){-2sin(θ)}dθ = 2π 逆関数。境界はx=√(4-y^2)より∫[-2,2]ydx=2∫[0,1]y(dx/dy)dy=2∫[2,0]y(-y/√(4-y^2))dy=2π 極座標に変数変換。(x,y)→(r,θ)(ただし、x=rcos(θ),y=rsin(θ))とすると、 [y≧0,x^2+y^2≦4]→[0≦r≦1,0≦θ≦π]、ヤコビアンはr。よって、 ∫[y≧0,x^2+y^2≦4]dxdy=∫[0≦r≦2,0≦θ≦π]rdrdθ=2π 以上のように計算法を比べてみると、陰関数そのものを使った積分の計算法を僕は知りません。 数学の理論はボタンをかけるように、パラレルな理論があると信じているのですが、 一方を知らないので気になります。 陰関数そのものを使った積分の計算法があれば教えていただけますようお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分・積分について
重積分・積分の問題です。 1 ∫[0,2π]cosmxcosnxdx (m,n∈Z) まず和積公式を使って cosmxcosnx=1/2{cos(m+n)x+cos(m-n)x}とし、 0→2πで積分して 1/2[1/m+n*sin(m+n)x+1/m-n*sin(m-n)x][0→2π] ここまでは解けるのですがここから解くことが出来ませんでした。 積分区間が０のときはsin０=0ですので考えないとしたんですが、 2πの時にするであろう場合分けが思いつきません。 ここから回答をお願い出来ないでしょうか。 また自分の回答に自信があまり無いので 以下の問題の答えを教えていただけないでしょうか。 2 d/dx(arcsinx)^2 =2arcsinx/(√1-x^2) 3 ∫∫∫D dxdydz/{√1-(x^2+y^2+z^2)} (D={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2≦1}) 被積分関数は1/{√1-(x^2+y^2+z^2)}より x^2+y^2+z^2=1上の点が特異点の広義積分である。 ここでDa:x^2+y^2+z^2≦a^2とおく。ただしa>0とする。 極座標(r,θ,ψ)を定める。 x=rsinθcosψ y=rsinθsinψ z=rcosθ とおくと Daは Ea:0≦r≦a, 0≦θ≦π,0≦ψ≦2πにうつる。 またヤコビアンはr^2sinθである。 計算は省略します。 積分すると4πa^5/5となり、 lim [a→1-0]として 答えは4π/5 でしょうか。 文章読みにくくてごめんなさい。 回答お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
教えていただいた通りに解いてみたら無事に正解にたどり着きました。 対称性を利用すれば良かったんですね。もっと広い視野で問題を捉えられるようにしていきたいと思います。 ありがとうございました。