積分の変数変換について

質問

積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。
　　x = x(r,θ) = rcosθ.
　　y = y(r,θ) = rsinθ.
であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば

　　∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#)

となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは
　　dxdy →drdθ
ではなく、
　　dxdy →rdrdθ
としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは
　　┌　┐ ┌　　　　　　　┐┌　 ┐
　　｜dx｜=｜cosθ　-rsinθ｜｜dr ｜
　　｜dy｜ ｜sinθ　 rcosθ｜｜dθ｜
　　└　┘ └　　　　　　　┘└　 ┘
　　|J| =｜cosθ　-rsinθ｜= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r
　　　　 ｜sinθ　 rcosθ｜
のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。
　一方で
　　rdrdθ= rdθ*dr
は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には

　　∫[0～2π]∫[0～R]rdrdθ

で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ（笑）、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。

　で、ここからが質問なのですが・・・

　直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか？
　たとえば
　　x = x(u,v,w)　　　y = y(u,v,w)　　　z = z(u,v,w)
　　┌　 ┐ 　┌　　　　　　　 ┐┌　┐
　　｜dx｜ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ｜｜du｜
　　｜dy｜=｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜｜dv｜
　　｜dz｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜｜dw｜
　　└　┘ 　└　　　　　　 　 ┘└　┘
　　　 ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w｜
　　|J| =｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜
　　　 ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜
であるとき
　　dxdydz = |J|dudvdw
という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。

　任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。

回答No.2

ddtddtddt · ベストアンサー

＞・・・最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。

　自分の意見ではOKです。だってグラフにすれば、その通りなんだから(^^)。イメージはOK！。

　ただし(u、v、w)は現実の物理座標ではありません。なので変換係数であるヤコビアンが付きます。

　でもこれは、普通の1次元の積分でも普通にやってる事です。積分パラメータxを、x＝f(t)と変数変換した場合、dx＝df/dt・dtって置換積分するじゃないですか？。

　df/dtとは多次元では|J|の事です。そして変数変換する目的は、（個人的意見では）積分関数を直交座標系のグラフに直して、積分操作をわかりやすく事です。

お礼

回答ありがとうございます。
　まあ、さほどおかしな解釈ではなさそうなのでホッとしました(o^o^o)。
　u、v、wが直交していないからこそ、ヤコビアンで補正してあたかも直交座標のような感覚で計算できるとでも思っておけばよさそうですね。

回答No.1

f272

u、v、wの直交座標で計算するという考えはちょっとどうかと思う。u、v、wが直交していないから、その分をヤコビアンで補正していると考えてください。

お礼

ありがとうございました。とても参考になりました。