2重積分の変数変換について

質問

2重積分について質問です。

∬D (x^2+y^2)dxdy　(D：(x/a)^2+(y/b)^2≦1)

と与えられた場合に、極座標に変換して求めようと思うのですが、

x/a=rcosθ
y/b=rsinθ

という変換の仕方で求まるのでしょうか？

また、初歩的な質問ですが、この積分で求まるのは楕円の面積なのでしょうか？
自分なりに解いてみたのですが、楕円の面積πabに一致しなかったので疑問に思いました。計算間違いでしょうか？それともそもそも2重積分の意味を勘違いしているのでしょうか？
ご回答よろしくお願いします。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．
きちんと計算されておられるようで，
つまらない思いこみがなければ悩むこともなかったですね．

No.3への補足：
> 領域Ｄはxy座標では原点を中心とした楕円であると思うのですが、極座標に変換した場合はなぜθの積分範囲は
>
> 0≦θ≦2π
>
> ではなく
>
> 0≦θ≦π/2
>
> なのでしょうか？お時間がございましたらご回答よろしくお願いいたします。

info22 さん，横から口出しですみません．
積分領域の楕円は第１象限から第４象限まで対称，
被積分関数の x^2+y^2 も第１象限から第４象限まで対称，
したがって，第１象限(0≦θ≦π/2)だけ積分してそれを４倍すれば
答になるのです．
info22 さんの計算式で積分の前に「４」がついているのは
この４倍の「４」です．

お礼

>積分領域の楕円は第１象限から第４象限まで対称，
>被積分関数の x^2+y^2 も第１象限から第４象限まで対称，
>したがって，第１象限(0≦θ≦π/2)だけ積分してそれを４倍すれば
>答になるのです．
>info22 さんの計算式で積分の前に「４」がついているのは
>この４倍の「４」です．

積分範囲に関して、少し視野が狭かったようです。対象性を利用して積分範囲を定めるというのはかなり参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.3

info22

＞x/a=rcosθ
＞y/b=rsinθ
＞
＞という変換の仕方で求まるのでしょうか？
OKです。

＞この積分で求まるのは楕円の面積なのでしょうか？
違います。
楕円の面積は
∬D dxdy　(D：(x/a)^2+(y/b)^2≦1)
から求まります。

＞x/a=rcosθ
＞y/b=rsinθ
なる変換をすれば
dxdy=abrdrdθ
＞I=∬D (x^2+y^2)dxdy
=4∬D'{a^2(cosθ)^2+b^2(sinθ)^2}ab(r^3)drdθ
=4ab∫[0～1] (r^3)dr∫[0～π/2] {a^2(cosθ)^2+b^2(sinθ)^2}dθ
=ab(1/2)∫[0～π/2] {(a^2+b^2)+(a^2-b^2)cos(2θ)}dθ
=(ab/2)(a^2+b^2)(π/2)
=abπ(a^2+b^2)/4

合っているかは自分で確認して下さい。

補足

ご回答ありがとうございます。

重ね重ね質問をして申し訳ありませんが

領域Ｄはxy座標では原点を中心とした楕円であると思うのですが、極座標に変換した場合はなぜθの積分範囲は

0≦θ≦2π

ではなく

0≦θ≦π/2

なのでしょうか？お時間がございましたらご回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

proto

領域Dの面積が出るのは被積分関数が1の場合、すなわち
　　∫Ddxdy
のような場合です。

今回は被積分関数がx^2+y^2で、原点からの距離の二乗を積分しているので、面積とは違う値になります。
２重積分ですので、イメージとしては底面がDの立体の体積を求めているのです。

お礼

積分の解き方しか頭に無く、イメージがわからなかったのでかなり参考になりました。
ご回答いただきありがとうございました。

回答No.1

siegmund

> x/a=rcosθ
> y/b=rsinθ
>
> という変換の仕方で求まるのでしょうか？

これで求められます．

> また、初歩的な質問ですが、この積分で求まるのは楕円の面積なのでしょうか？

楕円の面積は
∬D dxdy　(D：(x/a)^2+(y/b)^2≦1)
です．
dxdy が微小面積要素ですから，それを領域 D について加えあわせれば
当然領域 D の面積(今の問題では楕円の面積)になります．

> 自分なりに解いてみたのですが
その内容を書くべきでしょう．
利用規約に抵触することも心配ですし，何より「自分なりに解いてみた」内容がある方が
適切な回答が得られるのは明白でしょう．

補足

>> 自分なりに解いてみたのですが
>その内容を書くべきでしょう．
>利用規約に抵触することも心配ですし，何より「自分なりに解いてみた」内容がある方が
>適切な回答が得られるのは明白でしょう．

ご指摘ありがとうございます。
自分で解いてみた結果としては以下のとおりです。

ヤコビの行列式が

Ｊ=abr

となり、

ｆ(x,y)=f(arcosθ,brcosθ)=a^2r^2(cosθ)^2+b^2r^2(sinθ)^2

となるので、

∬D'{a^2r^2(cos)^2+b^2r^2(sin)^2}abrdrdθ・・・(1)

と考えました。

∫[0～1]abr^3dr=ab/4

なので(1)は

ab/4・1/2∫{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)cos(2θ)}dθ

となり、0≦θ≦2πの範囲で定積分し

ab/4(a^2+b^2)π

という結果を得ました。

前提として、計算結果が楕円の面積abπとなるという思い込みがあったので、あまりにもかけ離れていることに疑問を持ち質問させていただきました。