二重積分の問題-円の間の領域の積分方法
- 二重積分の問題で、円の間の領域の積分方法について質問します。
- 具体的には、極座標を用いて積分しようとしたが困難になりました。
- 答えていただける方には、詳しく解説していただきたいです。
- ベストアンサー
二重積分の問題です。ご協力お願いします。
テスト勉強中にわからない問題がありましたので質問させていただきました。 よろしくおねがいします。 I=∬<D>{1/(x²+y²)}dxdy Dは、言葉で説明させていただきます。 Dは、x²+y²=4,x²+y²=1の二重になっている円の間の部分で、y>0を満たし,原点を通りx軸となす角が2π/3の直線(y=-√(3)x)よりもx軸の正の方向にある、食べかけのドーナツのような領域です。 恥ずかしながら、自分は次のようにして行き詰まりました。 外側の円と内側の円を別々に求めようとしました。 極座標で考えようとしてx-2=rcosθ,y=rsinθと置き、(2,0)を基準に考え、 π/2≦θ<5π/6ではr=4cos(π-θ) 5π/6≦θ<πではy=-√(3)xに極座標のパラメーターを代入して求めた r=-2√(3)/sin(θ+π/3) これらを使っていざ積分しようとしたら、(2,0)を基準にした極座標のパラメーターをつかうと I=∬<D>{r/(4+4rcosθ+r²)}dθdr になり、積分に困りました。 答えてくださる方がいらしたら、詳しく解説していただけると大変ありがたいです。
- iemon96500
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- 数学・算数
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>極座標で考えようとしてx-2=rcosθ,y=rsinθと置き、(2,0)を基準に考え、 どうして(2,0)を極座標の原点にしようとされたのでしょうか? ここに原点をおくと5π/6≦θ<πではrの範囲は内側の円で分断され、式が複雑になります。 それでも積分は可能ですがかなり大変になります。 ここでは素直にxy座標の原点(0,0)に極座標の原点をおいて、r=1→2, θ=0→2π/3 で積分するのが簡単です。 試してみてください。
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お礼
回答ありがとうございます。 素直に原点を基準にすると、よさそうですね。 円周上に原点がある、二重積分の問いばかりでしたので間違えてしまいました。 極座標の原点を(0,0)に考えてみます。