• ベストアンサー

2重積分を極座標を利用して求めよ

∬[D]log√(x^2+y^2)dxdy D: 1≦x^2+y^2≦4, x≧0, y≧0 詳しい解説お願いします。 x=rcosθ, y=rsinθ と置いた時のrとθの範囲がわかりません。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.3

x=rcosθ, y=rsinθで置換積分すると D ⇒ {1≦r≦2,0≦θ≦π/2} ∬[D]log(√(x^2+y^2))dxdy =∬{1≦r≦2,0≦θ≦π/2} log(r) rdrdθ =∫[θ:0,π/2] dθ*∫[1,2] rlog(r) dr =(π/2)∫[1,2] rlog(r) dr 部分積分して =(π/2){[(r^2/2)log(r)][1,2]-∫[1,2](r^2/2)(1/r)dr} =(π/2){2log(2)-(1/2)∫[1,2] rdr} =(π/2){2log(2)-(1/2)[r^2/2][1,2]} =(π/2){2log(2)-(1/2)(2-(1/2))} =πlog(2)-(3/8)π

24143324
質問者

お礼

わかりました。 ありがとうございます。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (2)

  • Willyt
  • ベストアンサー率25% (2858/11131)
回答No.2

logr^2の積分がわかりません。 logr^2=2log r と変換できます。でも積分しなければならないのは log r なんですがね(^_-)

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • Willyt
  • ベストアンサー率25% (2858/11131)
回答No.1

x y は原点を中心とする円の第一象限部分での積分ということになりますからθの範囲は0~π/2 にないます。半径 r は1~2の範囲です。

24143324
質問者

お礼

途中式を教えて下さい。 logr^2の積分がわかりません。

24143324
質問者

補足

途中式を教えて下さい。 logr^2の積分がわかりません。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 極座標での二重積分

    ∬D[(y^2)/{(x^2+y^2)^3}]dxdy D={(x,y)|x≧0,y≧0,x^2+y^2≧1} この問題の正答がわかりません。 とりあえず、x=rcosθ,y=rsinθとして極座標に変換。すると ∬[{(sinθ)^2}/(r^3)]drdθ すると、θの範囲は0≦θ≦π/2でいいとして、rの範囲がr≧1となってしまい、どう計算したらいいかわかりません。 何か勘違いしているのでしょうか? どなたかご解説いただけるとありがたいです。

  • 二重積分について。

    x、yがx^2+y^2≦1の範囲Dにあるとき、 I=∫∫√(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)dxdy の積分をx=rcosθ,y=rsinθに変換し、Iをθとrに関する積分に直し、値を求めよ。という問題なんですが、 x=rcosθ,y=rsinθの関係を式に代入し、また、dx、dyをdθ、drに変換し、Dの範囲をr≦1/√2として積分を行おうと思ったのですが、なかなか展開していけませんでした。 誰かわかりそうな方いらっしゃいましたら、よろしくお願いします。

  • 2重積分について

    次の積分を計算せよ。 ∫∫x^2*y dxdy D={(x,y)|x^2+y^2≦2x+2y} この積分はx=rcosΘ y=rsinΘでおきかえて 範囲は0≦r≦√2 -π/2≦Θ≦π/2 求める答えは-8√2/9で合っているでしょうか? もし合っていないなら正しい答えを求める数式を書いていただけると幸いです。

  • 重積分

    以下の問題がどう変換してもややこしくなり困っています (1)∬(D)√x dxdy  D={(x、y);x^2+y^2<=x} 例えば極座標変換を使用しようとしてx=rcosθ、y=rsinθと置いたとしても、円の大きさが変数なので、 ∫(√rcosθ←0)dx∫(7/4π←5/4π)√rcosθ・r dθとなり 計算が困難です。どなたかご教授お願いします   

  • 極座標による重積分の範囲の取りかた

    ∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy  D:(x^2 + y^2 <= π^2) を極座標でに変換して求めよ。 という問題で、 x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、 rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。 x^2+y^2 = (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2 = r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2} = r^2< = π^2 とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか? rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。

  • 2重積分

    ∬xdx(範囲は、x^2+y^2≦2yかつy≦x)を計算せよ x=rcosθ、y=rsinθとおいて 範囲は0≦r≦cosθ,0≦θ≦π/4 =∬rcosθ*rdrdθ =(∫「0→cosθ」r^2dr)(∫「0→π/4」cosθdθ) =1/3[r^3]「0→cosθ」*[sinθ]「0→π/4」 ここで行き詰まりその後どうして良いか分かりません アドバイスお願いします。

  • 極座標に変換する二重積分について質問です。

    極座標に変換する二重積分について質問です。 x=rcosθ、y=rsinθの時、dxdy=rdrdθになるのはどうしてですか? わかりやすく教えていただけると助かります。

  • 円と直線の交差する範囲(重積分)

    重積分の範囲が、円の方程式と1次関数になっている場合の考え方をご教授願います。 ∬ y dxdy 積分範囲 x^2+y^2≦4 かつ y≧2-x x^2+y^2≦2^2 より、原点を中心とした半径2の円が考えられます。 極座標でx=rcosθ, y=rsinθとすれば、0≦r≦2 , dxdy=r drdθ 又、y=2-x のグラフは点(0,2)と点(2,0)で円周と接するので、 積分範囲は半径2の円の第一事象の部分 [0≦θ≦π/2かつ0≦r≦2] から [0≦x≦2かつ0≦y≦2-x] を引いた範囲が積分範囲と考えて良いのでしょうか? つまり、∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy の式に累次積分できるんですかね? お手数をお掛けいたしますが、ご指導願います。

  • 2重積分に関する問題です

    x = rcosθ , y = (r/√2)*sinθ とおいて、∬D ((x^2)+y) dxdy D = {(x,y) | (x^2)+2(y^2) ≦ 1 } を求めよ。 という問題について、この問題の解答を見てみると xとyの置き換えによってD→E = {(r,θ) | 0≦r≦1, 0≦θ≦2π } と範囲が変わっています。 ここで質問なのですが、Dの(x^2)+2(y^2) = 1という式にx = rcosθ , y = (r/√2)*sinθを適応すると、 r^2(cosθ)^2+r^2(sinθ)^2 ≦ 1 ⇒ r^2((cosθ)^2+(sinθ)^2)) ≦ 1 ⇒ r^2 ≦ 1 ⇒ -1≦ r ≦1 になり、rの範囲が解答と違います。なぜrの範囲は解答のように0≦r≦1となるのでしょうか? よろしくお願いします。

  • 3重積分について

    ∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3 領域D:{x^2 + y^2 + z^2≦a^2, a>0}という問題で、解が(3πa^4)/2になるはずなのですが、極座標に変換する段階でいまいち分かりません。自分なりにやると、 x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ (0≦r≦a, 0≦θ≦π, 0≦φ≦2π)として、ヤコビアンがr^2 sinθになり、 ∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3 =∫[0→2π]dφ∫[0→π]dθ∫[0→a]dr (r^2 sinθ)(rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ) このようになるのですが、自分がこれを解いていくと違った解になり、正解にたどり着きません。この変換が間違っているのでしょうか?単に途中の計算が間違っているのでしょうか? よろしくおねがいします。