2重積分を極座標を利用して求めよ

質問

∬[D]log√(x^2+y^2)dxdy D: 1≦x^2+y^2≦4, x≧0, y≧０

詳しい解説お願いします。

x=rcosθ, y=rsinθ と置いた時のｒとθの範囲がわかりません。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

x=rcosθ, y=rsinθで置換積分すると
D ⇒ {1≦r≦2,0≦θ≦π/2}

∬[D]log(√(x^2+y^2))dxdy
=∬{1≦r≦2,0≦θ≦π/2} log(r) rdrdθ
=∫[θ：0,π/2] dθ*∫[1,2] rlog(r) dr
=(π/2)∫[1,2] rlog(r) dr
部分積分して
=(π/2){[(r^2/2)log(r)][1,2]-∫[1,2](r^2/2)(1/r)dr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)∫[1,2] rdr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)[r^2/2][1,2]}
=(π/2){2log(2)-(1/2)(2-(1/2))}
=πlog(2)-(3/8)π

お礼

わかりました。
ありがとうございます。

回答No.2

Willyt

logr^2の積分がわかりません。

logr^2=2log r

と変換できます。でも積分しなければならないのは log r なんですがね(^_-)

回答No.1

Willyt

x y は原点を中心とする円の第一象限部分での積分ということになりますからθの範囲は０～π／２　にないます。半径 ｒ は１～２の範囲です。

お礼

途中式を教えて下さい。
logr^2の積分がわかりません。

補足

途中式を教えて下さい。
logr^2の積分がわかりません。