広義積分

質問

広義積分の問題が解けません。ヒントでもいいので教えてください。

問題
以下の広義積分の値を求めよ。
∬log√(x~2+y~2)dxdy
積分範囲Ｄ：x~2+y~2<=1です（<=は以下の意味です）

とりあえず
x=rcosθ,y=rsinθの置換を用いて計算していったのですがしっくりきません。
最初の式変形は
∬rlogr drdθで合っているかも不安です。。

どなたか助け舟をお願いします。

回答No.3

noname#252183 · ベストアンサー

与式をＩと置けば、
Ｉ＝∫∫ { x^2＋y^2 ≦ 1 } ｌｏｇ √ (ｘ^2 ＋ ｙ^2 ) ｄｘ ｄｙ＝∫∫ log ｒ・ｒ ｄθ・ｄｒ

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【寄り道1】
（あとは計算すればよいのですが、何をやっているのか見渡すため、少し寄り道します。）
ここで被積分関数 ｒ・ log ｒ は θ によらず ｒ だけの関数。Excel で描いた下図青線を、縦軸（ｚ軸）回りに一回転させて得た曲面になる。
この局面は、底付近だけが薄いゴムでできたお碗の底を、指先で上に摘まみ上げたような形。

周知のように、ｘｙ平面座標で曲線を積分し ∫f(x) dx を求めるとは、曲線 ｙ＝ f(x) とｘ軸の間の面積を求めることに等しく、 f(x)＜0 の部分は負になる。
同様に、ｘｙｚ空間座標で曲面を積分し ∫∫ f(x,y)　dx dy を求めるとは、曲面 ｚ＝f(x,y) とｘｙ平面の間の体積を求めることに等しく、 f(x,y)＜0 の部分の積分は負になる。

図より log ｒ・ｒ の値は、ｒ＝0（座標原点）と ｒ＝1（積分領域の境界円周上）でゼロ、それ以外の領域円内（ 0＜ｒ＜1）では負だから、本問の積分結果は、負にならなければならない。
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Ｉ＝∫ {0→2π} ｄθ ∫{0→1} log ｒ・ｒ・ｄｒ
＝２π・∫{0→1} log ｒ・ｒ・ｄｒ

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【寄り道2】
部分積分　∫ｆ・ｇ・dr＝[Ｆ・ｇ]－∫Ｆ・ｇ’・dｒ
(1)ｆ→log ｒ、ｇ→ｒ に対応させると、∫Ｆ・ｇ’dｒを計算するときｒは消えるが、log ｒ の積分が残る。
(2)ｆ→ｒ、ｇ→log ｒ に対応させると、log ｒ は積分でなく微分する。こっちが簡単。
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Ｉ/２π＝ ∫{0→1} ｒ・log ｒ・ｄｒ＝[ (1/2) ｒ^2・log ｒ ] {0→1} － ∫ {0→1} (1/2) ｒ^2・（1/ｒ) ｄｒ
＝0 －∫ {0→1} (1/2) ｒ ｄｒ＝ －[ｘ^2／４] {0→1} ＝－１／４
∴Ｉ＝２π*（－１／４）＝－π／２・・・（答）

お礼

とても丁寧な解説ありがとうございます。
他の方とも非常に迷いましたが良回答をつけさせて頂きました。
また機会があれば宜しくお願いします。

回答No.6

noname#252183

#3 lycaon です。
#3、#4 で違う図が挙げられましたので一言解説を。

問題文は
> ∬log√(x~2+y~2)dxdy
>積分範囲Ｄ：x~2+y~2<=1です（<=は以下の意味です）
となっています。

ｄｘｄｙで積分する場合の被積分関数は f(x,y)＝log √（ｘ^2＋ｙ^2）＝log ｒ　です。
#4 さんの図はこれで、更に積分範囲を－１≦ｘ≦１、－１≦ｙ≦１ の正方形内にした場合なので、一部の領域で値が正になっています。

#3 では被積分関数は、曲座標変換した後に出てくる 　f(ｒ)＝　ｒ ・log ｒ（ ≠　log ｒ）　としています。
積分範囲は半径１の円内（境界を含む）です
すると、ｒは 0 から１まで、log ｒ は －∞（ｒ＝0 のとき）から 0 までで、掛け合わせれば 常にゼロまたは負です。

なお正方形から内接円を引き去った領域では　ｒ も log ｒ も正なので、この領域では被積分関数が log ｒでも　ｒ・log ｒ でも、共に正になります。

（#4 は判りやすい図です。これを描けるソフト、あれば便利でしょうが高そうですね。買っても年金暮らしでは宝の持ち腐れになる・・・フリーウェアがないかな。）

お礼

そういう事も作用して２つの図の違いになったのですね。
私は自分で解いた回答がマイナスがついていてなぜか不安になっていました。やはりまだまだ理解不足、勉強不足だなあと感じております。
これからも是非ご教授お願いいたします。

回答No.5

info22

#1,#2です。
回答者のアドバイス等の回答があったら補足に何らかの応答を返すようにして下さい。

丸回答している方もいるようです（マナー違反？）が
A#1に書いたように
積分は
> ∬rlogr drdθ
={∫[0→1]rlog(r)dr}{∫[0→2π] 1dθ}
rの積分範囲は半径1の円内ですから [0→1] となります。

この積分はrについての積分とθについての積分の積に分離できていますので簡単に積分できるでしょう。rについての積分は部分積分法を使えば簡単に出来ます。

なお、積分結果は
#3さんが書かれている
「-π/2」となります。

補足

申し訳ないです。
まさかこんなにも丁寧な回答が一日で寄せられているとは知らず、感激しております。
図の丁寧さや詳解など本当に感謝しております。

理解が深まりました。ありがとうございます。

回答No.4

noname#111804

被積分関数のグラフは添付図のようになります。
図では積分範囲において負の領域と正の領域が
混在しているようにも見えます？

お礼

私には直感的に図のイメージが沸かなくて中々理解しづらい問題でした。
こういったわかりやすいグラフがあると一気に理解も深まりますね。わざわざありがとうございます。
また機会があれば色々ご教授下さい。

回答No.2

info22

#1です。
A#1の後半の文章誤植です。以下のように訂正願います。

積分範囲を　r=0～1, θ=0～2πとして変数分離して積分の積にして
それぞれを定積分すれば良いですよ。

お礼

迅速な回答ありがとうございます。
自分の解に自信が持てました。

回答No.1

info22

>∬rlogr drdθで合っているかも不安です
合っていますよ。ただし　r>0です。

積分範囲を　r=0～1, θ=0～2πとして変数分離して積分の積にして
それぞてを積分すれば良いですよ。