広義積分の問題です。

質問

αは実数とする。次の広義積分が収束するためのαに関する条件を求めよ。また、収束するときは、その値を求めよ。

∬log（ｘ＾２＋ｙ＾２）/（ｘ＾２＋ｙ＾２）＾α　ｄｘｄｙ　　｛０＜ｘ＾２＋ｙ＾２≦１｝

というものです。お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

x=rcosθ,y=rsinθとおくと
積分領域は
D={(r,θ)|0<r≦1,0≦θ＜2π}となり
またdxdy=rdrdθ,log(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^α=log(r^2)/r^(2α)
であるから
I=∬[D] log(r^2)/(r^2)^α rdrdθ
=∫[0,2π] dθ∫[0,1] {log(r^2) /(r^2)^α}rdr
=2π∫[0,1] {log(r^2) /(r^2)^α}rdr
r^2=R(>0)とおくと 2rdr=dR
I=π∫[0,1] log(R)/R^α dR
α≧1のとき　発散
α<1のとき　I=-1/(1-a)^2

お礼

助かりました（Ｔ^Ｔ）。ありがとうございます。ｍ（＿＿）ｍ

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

極座標を用いる。