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広義積分
次の広義積分が収束するかどうか、調べてください。収束する場合はその値も求めてください。 ∫[1,∞]1/(x^3+1)dx 3次式の因数分解の公式を使うんでしょうか?
- monomono0610
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次の部分分数分解してから積分すればいいでしょう。 1/(x^3+1)=1/((x+1)(x^2-x+1))=(1/3){1/(x+1) -(x-2)/(x^2-x+1)} この不定積分F(x)は 積分範囲からx≧1であることを考慮すると F=(1/3)ln(x+1)-(1/6)ln(x^2-x+1)+(1/√3)tan^-1((2x-1)/√3)+C =(1/6)ln{(x+1)^2/(x^2-x+1)} +(1/√3)tan^-1((2x-1)/√3)+C =(1/6)ln{1+3x/(x^2-x+1)} +(1/√3)tan^-1((2x-1)/√3)+C これから広義積分Iは I=lim[x→∞] F(x) -F(1) =(1/6)ln(1)+(1/√3)(π/2) -(1/6)ln(4)-(1/√3)tan^-1(1/√3) =π/(2√3) -(1/3)ln(2)-(1/√3)(π/6) =π/(3√3) -(1/3)ln(2) となるかと思います。
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- Tacosan
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もちろん使いますよ.
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