広義二重積分の問題です。教えてください

質問

広義二重積分の問題です。教えてください、よろしくお願いします。

次の広義積分を求めよ。
問１、∫∫D　1/(1＋x^2＋y^2)^a/2 dxdy,D＝{(x,y):y≧0}
問2、∫∫D　log(x^2＋y^2)　dxdy,D＝{(x,y):0<x^2＋y^2≦1}

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

求める積分をIとし，いずれも極座標変換します．

x^2+y^2=r^2

dxdy=rdrdθ

[1]D：r≧0,0≦θ≦πですから

I=∫_0^πdθ∫_0^∞drr{1/(1+r^2)}^{a/2}

=π∫_1^∞(1/2)d(1+r^2)(1+r^2)^{-a/2}

=(π/2)∫_1^∞duu^{-a/2}

これから収束するためにはa/2>1であることが必要十分で

I=(π/2)[u^{1-a/2}/(1-a/2)]_1^∞=π/(a-2) (a>2)

[1]D：0<r≦1,0≦θ≦2πですから

I=∫_0^{2π}dθ∫_0^1drrlog(r^2)

=4π∫_0^1drrlog(r)=4π∫_0^1dr(r^2/2)'log(r)

=4π[(r^2/2)log(r)|_0^1-∫_0^1dr(r^2/2)(1/r)]

=4π[-∫_0^1drr/2]=4π(-1/4)=-π

お礼

助かりました!!
素早いご回答ありがとうございました。