広義重積分

質問

広義重積分の問題が分かりません。
(1)∬(e^-x-y)dxdy D={(x,y)|x≤0,y≤0}
(2)広義重積分が収束するための定数r
　∬1/(x+y)^rdxdy D={(x,y)|1≤x,1≤y}
どちらか一方だけでもよいので教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

info222_

(1)
I=∬[D](e^-x-y)dxdy, D={(x,y)|x≤0,y≤0}
=∫[-∞,0]e^(-x)dx ∫[-∞,0] e^(-y)dy
={∫[-∞,0]e^(-x)dx}^2
=lim(a→+∞){∫[-a,0]e^(-x)dx}^2
-x=tとおくと
=lim(a→+∞){∫[a,0] e^t (-dt)}^2
=lim(a→+∞){∫[0,a] e^t (dt)}^2
={lim(a→+∞)∫[0,a] e^t (dt)}^2
={lim(a→+∞) [e^t][0,a] }^2
={lim(a→+∞) [(e^a) -1]}^2
=+∞(発散,収束値は存在しない)

(2)広義重積分が収束するための定数rの範囲を求める。
I=∬[D]1/(x+y)^r dxdy, D={(x,y)|1≤x,1≤y}
=∫[1,∞]dx ∫[1,∞] (x+y)^(-r) dy

r<1のとき
I=∫[x:1,∞] { [{1/(1-r)}(x+y)^(-(r-1))] [y:1,∞]}dx
={1/(1-r)}∫[x:1,∞] {[(x+y)^(-r+1)] [y:1,∞]}dx
={1/(1-r)}∫[x:1,∞] {[(x+y)^(1-r)] [y:1,∞]}dx
={1/(1-r)}∫[x:1,∞] (+∞)dx=+∞(発散、収束しない)

r=1のとき
I=∫[x:1,∞]dx ∫[y:1,∞] 1/(x+y) dy
=∫[x:1,∞] [log(x+y)][y:1,∞]} dx
=∫[1,∞] (+∞)dx=+∞（収束しない）
r>1のとき
I=∫[x:1,∞]dx [{-1/(r-1)}(x+y)^(-(r-1))] [y:1,∞]
={-1/(r-1)}∫[1,∞] {-1/(x+1)^(r-1)}dx
={1/(r-1)}∫[1,∞] {(x+1)^(-(r-1))}dx

1<r<2のとき
I={1/(r-1)}[(1/(2-r))(x+1)^(2-r))][1,∞]
={1/((r-1)(2-r))}[(x+1)^(2-r))][1,∞]
=+∞(発散、収束しない)

r=2のとき
I=∫[1,∞] {1/(x+1)}dx
=[log(x+1)][1,∞]
=+∞(発散、収束しない)

r>2のとき
I={1/(r-1)}[(-1/(r-2))(x+1)^(-(r-2))][1,∞]
=-{1/((r-1)(r-2))}[(x+1)^(-(r-2))][1,∞]
={2^(2-r)}/((r-1)(r-2)) (収束)

よって積分が存在するためのrの範囲は「r>2」... (答)