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広義重積分
広義重積分の問題が分かりません。 (1)∬(e^-x-y)dxdy D={(x,y)|x≤0,y≤0} (2)広義重積分が収束するための定数r ∬1/(x+y)^rdxdy D={(x,y)|1≤x,1≤y} どちらか一方だけでもよいので教えてください。よろしくお願いします。
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(1) I=∬[D](e^-x-y)dxdy, D={(x,y)|x≤0,y≤0} =∫[-∞,0]e^(-x)dx ∫[-∞,0] e^(-y)dy ={∫[-∞,0]e^(-x)dx}^2 =lim(a→+∞){∫[-a,0]e^(-x)dx}^2 -x=tとおくと =lim(a→+∞){∫[a,0] e^t (-dt)}^2 =lim(a→+∞){∫[0,a] e^t (dt)}^2 ={lim(a→+∞)∫[0,a] e^t (dt)}^2 ={lim(a→+∞) [e^t][0,a] }^2 ={lim(a→+∞) [(e^a) -1]}^2 =+∞(発散,収束値は存在しない) (2)広義重積分が収束するための定数rの範囲を求める。 I=∬[D]1/(x+y)^r dxdy, D={(x,y)|1≤x,1≤y} =∫[1,∞]dx ∫[1,∞] (x+y)^(-r) dy r<1のとき I=∫[x:1,∞] { [{1/(1-r)}(x+y)^(-(r-1))] [y:1,∞]}dx ={1/(1-r)}∫[x:1,∞] {[(x+y)^(-r+1)] [y:1,∞]}dx ={1/(1-r)}∫[x:1,∞] {[(x+y)^(1-r)] [y:1,∞]}dx ={1/(1-r)}∫[x:1,∞] (+∞)dx=+∞(発散、収束しない) r=1のとき I=∫[x:1,∞]dx ∫[y:1,∞] 1/(x+y) dy =∫[x:1,∞] [log(x+y)][y:1,∞]} dx =∫[1,∞] (+∞)dx=+∞(収束しない) r>1のとき I=∫[x:1,∞]dx [{-1/(r-1)}(x+y)^(-(r-1))] [y:1,∞] ={-1/(r-1)}∫[1,∞] {-1/(x+1)^(r-1)}dx ={1/(r-1)}∫[1,∞] {(x+1)^(-(r-1))}dx 1<r<2のとき I={1/(r-1)}[(1/(2-r))(x+1)^(2-r))][1,∞] ={1/((r-1)(2-r))}[(x+1)^(2-r))][1,∞] =+∞(発散、収束しない) r=2のとき I=∫[1,∞] {1/(x+1)}dx =[log(x+1)][1,∞] =+∞(発散、収束しない) r>2のとき I={1/(r-1)}[(-1/(r-2))(x+1)^(-(r-2))][1,∞] =-{1/((r-1)(r-2))}[(x+1)^(-(r-2))][1,∞] ={2^(2-r)}/((r-1)(r-2)) (収束) よって積分が存在するためのrの範囲は「r>2」... (答)
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