広義の二重積分の求め方

質問

次の問題が途中までしかわかりません。

問：次の広義の二重積分を求めよ。
　∬[D] (x＾2)(e＾(-x＾2-y＾2))dxdy D:｛x≧0　y≧0｝

｛Ｄn｝を原点を中心とした半径nの円とＤとの共通部分とすれば、｛Ｄn｝はＤの近似増加列である。ここで、x=rcosθ,y=rsinθに変換し計算すると、
∫dθ∫(r＾2)((cosθ)＾2)(e＾(-r^2))rdr　（θの積分範囲：0→π/2、 rの積分範囲：0→n）
＝-(π/32)(4e^(-n^2)n^3 + 6e(-n^2)n^2 + 6e(-n^2)n + 3e(-n^2) - 3)
となりました。（この計算は少し自信がありません）
残りの、n→∞にとばす計算の仕方がわかりません。

因みに、答えはπ/8 です。
どなたかご教授お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1さんのやり方が一般的かと思います。

質問者さんのやり方は初めてです。
> n→∞にとばす計算の仕方がわかりません。
ロピタルの定理を使えば簡単にできるでしょう。
e^(-n^2)n^3=(n^3)/e^(n^2)→(n^3)'/{e^(n^2)}'=(3n^2)/{2ne^(n^2)}
=(3/2)n/e^(n^2)→(3/2)(n)'/{e^(n^2)}'=(3/2)/{2ne^(n^2)}→0

e(-n^2)n^2=(n^2)/e^(n^2)→(n^2)'/{e^(n^2)}'=(2n)/{2ne^(n^2)}
=1/e^(n^2)→0

e(-n^2)n=n/e^(n^2)→(n)'/{e^(n^2)}'=1/{2ne^(n^2)}→0

e(-n^2)=1/e^(n^2)→0

従って
＝-(π/32)(4e^(-n^2)n^3 + 6e(-n^2)n^2 + 6e(-n^2)n + 3e(-n^2) - 3)
→ -(π/32)(-3)
となるかと。
しかし、この計算だと(3π/32)となりますので、積分の途中計算で計算ミスをしているようです。

∫_D dθ∫(r＾2)((cosθ)＾2)(e＾(-r^2))rdr
=∫[0,π/2]((cosθ)＾2)dθ∫[0,∞](r^3)(e＾(-r^2))dr
=(π/4)*(1/2)=π/8
が出てきます。
ここで
∫[0,π/2]((cosθ)＾2)dθ=(1/2)∫[0,π/2](1+(cos(2θ))dθ
=(1/2)[θ+(1/2)sin(2θ)]_[0,π/2]
=(1/2)(π/2)=π/4

∫[0,∞](r^3)(e＾(-r^2))dr r^2=tと置換(rdr=dt/2)
=∫[0,∞] t(e＾(-t))dt/2
=(1/2)[t(-exp(-t))]_[0,∞] +(1/2)∫[0,∞](e＾(-t))dt
=-(1/2)lim[t→∞] t/exp(t)
+(1/2)[-e^(-t)]_[0,∞]
=-(1/2)lim[t→∞] 1/exp(t) …（ロピタルの定理使用）
+(1/2)
=1/2

お礼

ご回答ありがとうございます。
変数変換するやり方は、教科書の例題に載っていたのでその方法でやってみたのです。

計算の仕方も理解できました。丁寧に解説してくださり、ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

変数変換などせず普通に計算すればよい。

∫∫[D](x^2){e^(-x^2-y^2)}dxdy=∫[x:0→∞](x^2)e^(-x^2)dx∫[y:0→∞]e^(-y^2)dy

となります。
後ろ側の積分はガウス積分の半分。前の積分は次のように部分積分します。

∫(x^2)e^(-x^2)dx=∫(-x/2){-2xe^(-x^2)}dx
=(-x/2)e^(-x^2)+(1/2)∫e^(-x^2)dx

前の項はx→0,x→∞のいずれも0に収束、後ろの項はガウス積分から得られます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
教科書に変数変換のやり方しか載っていなかったので、その方法で解いてみました。
このようにすれば簡単なのですね。理解できました。ありがとうございます。