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極座標での二重積分

∬D[(y^2)/{(x^2+y^2)^3}]dxdy D={(x,y)|x≧0,y≧0,x^2+y^2≧1} この問題の正答がわかりません。 とりあえず、x=rcosθ,y=rsinθとして極座標に変換。すると ∬[{(sinθ)^2}/(r^3)]drdθ すると、θの範囲は0≦θ≦π/2でいいとして、rの範囲がr≧1となってしまい、どう計算したらいいかわかりません。 何か勘違いしているのでしょうか? どなたかご解説いただけるとありがたいです。

質問者が選んだベストアンサー

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  • R_Earl
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回答No.1

> rの範囲がr≧1となってしまい、どう計算したらいいかわかりません。 1 ≦ rなら、rの範囲は1 ≦ r ≦ ∞と考えられます。 なので広義積分を用いれば計算できるはずです。

sumal
質問者

お礼

またもや、ご回答ありがとうございます。 なるほど、確かに広義積分を使えばいけそうですね。 やってみます。

その他の回答 (1)

  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)
回答No.2

∬D[(y^2)/{(x^2+y^2)^3}]dxdy D={(x,y)|x≧0,y≧0,x^2+y^2≧1} ∫[0,π/2]∫[1,∞][{(sinθ)^2}/(r^3)]drdθ =∫[0,π/2]∫[1,∞][1/2*(1-(cos2θ)/2)]*[r^(-3)]drdθ =lim(R→∞)∫[1,R][r^(-3)]dr*∫[0,π/2][1/2*(1-(cos2θ)/2)]dθ ={lim(R→∞)[(-r^(-4)/4][1,R]}*{[1/2*(θ-(sin2θ)/2)][0,π/2]} =lim(R→∞){1/4-1/(4R^4)}*{[1/2*(θ-(sin2θ)/2)][0,π/2]} =1/4*π/4 =π/16 (計算は確かめてください!)

sumal
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 確かにπ/16になりました。

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