極座標での二重積分

質問

∬D[(y＾2)/{(x＾2+y＾2)＾3}]dxdy D={(x,y)｜x≧0,y≧0,x＾2+y＾2≧1}

この問題の正答がわかりません。
とりあえず、x=rcosθ,y=rsinθとして極座標に変換。すると

∬[{(sinθ)＾2}/(r＾3)]drdθ

すると、θの範囲は0≦θ≦π/2でいいとして、rの範囲がr≧１となってしまい、どう計算したらいいかわかりません。
何か勘違いしているのでしょうか？
どなたかご解説いただけるとありがたいです。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> rの範囲がr≧１となってしまい、どう計算したらいいかわかりません。

1 ≦ rなら、rの範囲は1 ≦ r ≦ ∞と考えられます。
なので広義積分を用いれば計算できるはずです。

お礼

またもや、ご回答ありがとうございます。
なるほど、確かに広義積分を使えばいけそうですね。
やってみます。

回答No.2

Ae610

∬D[(y＾2)/{(x＾2+y＾2)＾3}]dxdy D={(x,y)｜x≧0,y≧0,x＾2+y＾2≧1}

∫[0,π/2]∫[1,∞][{(sinθ)＾2}/(r＾3)]drdθ
＝∫[0,π/2]∫[1,∞][1/2*(1－(cos2θ)/2)]*[r^(-3)]drdθ
＝lim(R→∞)∫[1,R][r^(-3)]dr*∫[0,π/2][1/2*(1－(cos2θ)/2)]dθ
＝｛lim(R→∞)[(－r^(-4)/4][1,R]｝*｛[1/2*(θ－(sin2θ)/2)][0,π/2]｝
＝lim(R→∞)｛1/4－1/(4R^4)｝*｛[1/2*(θ－(sin2θ)/2)][0,π/2]｝
＝1/4*π/4
＝π/16

(計算は確かめてください！)

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かにπ/16になりました。