2重積分に関する問題です

質問

x = rcosθ　, y = (r/√2)*sinθ とおいて、∬D ((x^2)+y) dxdy D = {(x,y) | (x^2)+2(y^2) ≦ 1 } を求めよ。

という問題について、この問題の解答を見てみると
xとｙの置き換えによってD→E = {(r,θ) | 0≦r≦1, 0≦θ≦2π }
と範囲が変わっています。

ここで質問なのですが、Dの(x^2)+2(y^2) = 1という式にx = rcosθ　, y = (r/√2)*sinθを適応すると、
r^2(cosθ)^2+r^2(sinθ)^2 ≦ 1 ⇒ r^2((cosθ)^2+(sinθ)^2)) ≦ 1 ⇒ r^2 ≦ 1 ⇒ -1≦ r ≦1
になり、rの範囲が解答と違います。なぜrの範囲は解答のように0≦r≦1となるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

rの範囲は
r^2(cosθ)^2+r^2(sinθ)^2 ≦ 1
を解いて決まると考えてみえるところに間違いの原因があるようです。
>Dの(x^2)+2(y^2) = 1という式にx = rcosθ　, y = (r/√2)*sinθを適応する
>D = {(x,y) | (x^2)+2(y^2) ≦ 1 }
なので、「Dの(x^2)+2(y^2) = 1という式」ではないです。
「Dの(x^2)+2(y^2) = 1という式」なら　「x = cosθ　, y = (1/√2)*sinθ」
となります。したがって「r^2 ≦ 1」のような不等号の関係は出てきません。

このときDの領域全体（楕円の周上を含む内部領域）を
x = rcosθ　, y = (r/√2)*sinθ
の置換によって
重複なくカバーする(r,θ)の領域Eを決めてやります。
すると
E = {(r,θ) | 0≦r≦1, 0≦θ≦2π }
または
E = {(r,θ) | 0≦r≦1, -π≦θ≦π }
または
E = {(r,θ) | -1≦r≦1, 0≦θ≦π }
または
E = {(r,θ) | -1≦r≦1, -π/2≦θ≦π/2 }
などとなります。
上の置換ではどの変換の定義でも問題ないですが、質問者さんのお考えのrの範囲「-1≦ r ≦1 」だと、3番目または4番目の領域Eの定義となります。単なる置換による領域の数式的な表現には問題ありません。結果も上の4通りの領域Eの決め方により重積分の結果も同じになります。

通常「(x^2)+2(y^2) ≦ 1 」は半径「-1」の円の内部と言ったら不自然ですね。数式的には負の半径があっても問題はないですがネ。極座標(r,θ)においても、通常r≧0で考える慣習があり,0≦r≦1とすることが多いのです。このrの範囲だとθの範囲を上の1番目または2番目の領域Eのように定めてやる必要があります。r(<0)の楕円領域を考えても数式的には全く問題ないですが、極座標を扱うときrはr≧0として「正の動径」と考えることが多く、通常は上の1番目、2番目の領域Eを採用する慣わしがあることは否めません。この観点から言えば、質問者さんの領域Eの定義は「へそ曲がり」としてとられるかも知れませんが、間違いではありません。
ただ、以下は領域の2重の重複になるのでいずれも間違いです。
E = {(r,θ) | -1≦r≦1, 0≦θ≦2π }
または
E = {(r,θ) | -1≦r≦1, -π≦θ≦π }

お礼

詳しい説明ありがとうございました