重積分の大小関係と計算、極限値、定積分の証明
- 重積分の大小関係を示すために、領域D、D_+、D_-の重積分を比較する問題です。
- D_-の重積分を計算し、その結果を求める問題です。
- D_-の重積分の結果をR→∞としたときの極限値を求める問題です。
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重積分
次の重積分について、問題を解いてください。 R>0として、領域D,D_+,D_- が D = {(x,y)|0≦x≦R,0≦y≦R} D_+ = {(x,y)|x^2+y^2≦2R^2,x≧0,y≧0} D_- = {(x,y)|x^2+y^2≦R^2,x≧0,y≧0} で 与えられるとき、以下の問いに答えよ。ただし、aは正の定数である。 (1) 2重積分∮∮D e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_+ e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyの大小関係を示しなさい。 (2) 2重積分 ,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyを計算しなさい。 (3) (2)の結果をR→∞としたときの極限値を求めよ。 (4) 定積分∮(0→∞) e^(-ax^2) dx = (1/2)√(π/a) を証明せよ。 途中式もお願いします。
- eievie
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積分記号「∫」を使えよ。 「∮」は使うなよ。 (1) e^(-ax^2) >0、D_+⊃D⊃D_- より ∬[D_-] e^{-a(x^2+y^2)}dxdy< ∬[D] e^{-a(x^2+y^2)}dxdy<∬[D_+]e^{-a(x^2+y^2)}dxdy …(答) (2) I1=∬[D_-] e^{-a(x^2+y^2)}dxdy x=rcos(t),y=rsin(t) (0≦t≦π/2, 0≦r≦R)とおいて置換積分 I1=∫[0,π/2] dt ∫[0,R] e^(-ar^2) rdr =(π/2)[-e^(-ar^2)/(2a)] [0,R] =(π/(4a))(1-e^(-aR^2)) …(答) (3) lim(R→∞) I1=π/(4a) …(答) (4) 参考URLのガウス積分を参考にすれば簡単に証明できるから、 自力でやってみてください。 偶関数の積分の積分は、積分区間を半分にすれば、積分値も1/2になります。
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