重積分

質問

次の重積分について、問題を解いてください。

R>0として、領域D,D_+,D_- が
D = {(x,y)|0≦x≦R,0≦y≦R}
D_+ = {(x,y)|x^2+y^2≦2R^2,x≧0,y≧0}
D_- = {(x,y)|x^2+y^2≦R^2,x≧0,y≧0}
で 与えられるとき、以下の問いに答えよ。ただし、aは正の定数である。

(1) 2重積分∮∮D e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_+ e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyの大小関係を示しなさい。

(2) 2重積分 ,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyを計算しなさい。

(3) (2)の結果をR→∞としたときの極限値を求めよ。

(4) 定積分∮(0→∞) e^(-ax^2) dx = (1/2)√(π/a)
を証明せよ。

途中式もお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

積分記号「∫」を使えよ。
「∮」は使うなよ。

(1)
e^(-ax^2) >0、D_+⊃D⊃D_- より
　∬[D_-] e^{-a(x^2+y^2)}dxdy＜
　∬[D] e^{-a(x^2+y^2)}dxdy＜∬[D_+]e^{-a(x^2+y^2)}dxdy
　 …（答）

(2)
I1=∬[D_-] e^{-a(x^2+y^2)}dxdy
x=rcos(t),y=rsin(t) (0≦t≦π/2, 0≦r≦R)とおいて置換積分
I1=∫[0,π/2] dt ∫[0,R] e^(-ar^2) rdr
=(π/2)[-e^(-ar^2)/(2a)] [0,R]
=(π/(4a))(1-e^(-aR^2)) …（答）

(3)
lim(R→∞) I1=π/(4a) …（答）

(4)
参考URLのガウス積分を参考にすれば簡単に証明できるから、
自力でやってみてください。
偶関数の積分の積分は、積分区間を半分にすれば、積分値も1/2になります。

参考URL：

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/gaussIntegral/