• ベストアンサー

2重積分part2

問1 A=∬D √(a^2-x^2-y^2)dxdy を 領域D:x^2+y^2≦a^2 において2重積分を行なうのですが、 これはさっきのと比べながらやろうとしたのですが、 領域Dは半径aの円の中であって・・・・・ これからどうすれば? 問2 領域D:0≦x+y≦1,0≦x-y≦1 のとき A=∬D e^x dxdy を求める。 領域を図示してみると ちょうどx=1から負の方向だということがわかったのですが・・・ この場合、yの範囲を(x-1)~(-x+1) とすればいいのですか? でもそうするとxの範囲は??? 頭が正常に機能していないみたいです。 助けてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • kony0
  • ベストアンサー率36% (175/474)
回答No.1

問1は、有名な変数変換x=r*cosΘ, y=r*sinΘを行います。 このとき、ヤコビアンを考えて、dxdy=r*drdΘとなるはずです。 (教科書かなにかで調べてください) この変数変換を行うと、rは0~a、θは0~2πの間で積分すればよいことになりますよね? 問2は、(0,0)(1/2,-1/2),(1/2,1/2),(1,0)を頂点とする四角形が積分範囲かと思いますが、 xが0~1/2のときはyの範囲は-x~x、xが1/2~1のときは、yの積分範囲はx-1~1-xとしてあげればよいのでは? もしくは、x+y=u, x-y=vとおいてヤコビアンを考える方法ももちろんありでしょう。

novaakira
質問者

お礼

回答ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • i536
  • ベストアンサー率32% (75/231)
回答No.2

(1)の積分の範囲は、 (x=-a~+a)(y=-√(a^2-x^2)~+√(a^2-x^2))あるいは (x=0~+a)(y=0~+√(a^2-x^2))とし積分値を4倍するのもいいとおもいます。 半径aの半球の体積になります。 (2)の積分の範囲は、kony()さんがすでに書かれていますように 領域を2つに分けて積分します。

novaakira
質問者

お礼

回答ありがとうございました。

関連するQ&A

専門家に質問してみよう