2重積分の問題です

質問

次の2重積分の値を極座標に変換して求めよ。Ｄは（）内の不等式の表す領域とし、aは正の定数とする。

(1)　∬D xdxdy (x≧0、y≧0、x^2+y^2≦a^2)
(2) ∬D log(x^2+y^2)dxdy (4≦x^2+y^2≦9)

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_

#2です。

折角、積分表現をやさしい変数分離型で書き直してやりましたがやってみましたか？
応答がないですね。正解にたどり着きたいのであれば、他人任せの他力本願でなく、自力努力で解答してみて結果を知らせてください。A#2の易しく書き直した積分積分をなら出来ると思いますので、補足に計算過程を書いてください。

(1)は
I1=∫[0,π/2] cos(t)dt=
I2=∫[0,a](r^2)dr=
の積分をして、掛けて　I=I1*I2 を求めるだけ。
このI1,I2の積分なら教科書に載っている積分です。

(2)は
I1=∫[0,π/2]dt=π/2
I2=∫[2,3] 2rlog(r)dr=(r^2)log(r)-∫[2,3] rdr=
(部分積分法を適用)

を求めて掛け合わせて
I=4*I1*I2
を求めるだけ。

頑張ってやってみて、結果を補足に書いてください。

回答No.2

info22_

x=r*cos(t),y=r*sin(t)と置換し逐次積分すれば良いでしょう。
そうするとdxdy=rdrdt,x^2+y^2=rなどと変わります。

(1)I=∫[0,π/2] cos(t)dt*∫[0,a](r^2)dr
変数分離できていますので後は積分してみてください。

(2)I=4∫[0,π/2]dt*∫[2,3] 2rlog(r)dr
変数分離できていますので後は積分してみてください。
後半のrの積分は部分積分をすればいいですね。

回答No.1

spring135

教科書に全く同じ問題または類似の問題がたくさん出ているでしょう。それらをやってみればすぐに上の問題はできます。