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重積分
I=∬[D](x^2 + y^2)^(-α/2) dxdy(α>0) D={(x,y)| (x,y)≠(0,0) , x^2+y^2 ≦ a^2}(a≧1、定数) Iが収束するようなαの範囲を示し、そのときのIの値を求めなさい。 と与えられています。 極座標変換を用いて解こうと思うのですが、 0<r≦α , 0≦θ≦2π とおくと、全てのαで収束すると思うのですが、どうなんでしょうか?(定積分となり値が出る?) 特にθの範囲についておねがいします。
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次の重積分について、問題を解いてください。 R>0として、領域D,D_+,D_- が D = {(x,y)|0≦x≦R,0≦y≦R} D_+ = {(x,y)|x^2+y^2≦2R^2,x≧0,y≧0} D_- = {(x,y)|x^2+y^2≦R^2,x≧0,y≧0} で 与えられるとき、以下の問いに答えよ。ただし、aは正の定数である。 (1) 2重積分∮∮D e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_+ e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyの大小関係を示しなさい。 (2) 2重積分 ,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyを計算しなさい。 (3) (2)の結果をR→∞としたときの極限値を求めよ。 (4) 定積分∮(0→∞) e^(-ax^2) dx = (1/2)√(π/a) を証明せよ。 途中式もお願いします。
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問題 次の二重積分を実行せよ。∬dxdy/((a^2+x^2+y^2)^(3/2)) D={(x,y);0≦x≦a,0≦y≦a} 極座標に変換して ∬rdrdθ/((a^2+r^2)^(3/2)) D1={(r,θ); 0≦r≦a/cosθ, 0≦θ≦π/4} D2={(r,θ); 0≦r≦a/sinθ, π/4≦θ≦π/2} D1の範囲で積分を実行してったときに∫1/√{1+(1/cosθ)^2}dθという項がでてくるのですが、これをうまく積分することが出来ません。 一応、tanθ=tやcosθ=tと置換してみたりもしたのですが、うまい形に変形できませんし・・ どなたか分かる方、教えてください。
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回答どうもありがとうございました。 『0<r≦a』 この部分を落としていました。 ~~~~~ 不等号にも注意して行きたいと思います。 またよろしくおねがいしますm( _ _ )m