2重積分について

質問

(1)
∬D　ｘ＾２ｄｘｄｙ
ただしD：　ｘ＋ｙ≦２　x≧０　ｙ≧０

(2)
∬D　sin(x+y)dxdy
ただしD:　0≦ｘ≦π/2 x≦ｙ≦π-ｘ

(3)
極座標を使って∬D　ｙｄｘｄｙを求めよ。
ただしD：ｙ≧０　1≦ｘ＾２＋ｙ＾２≦4

この問題がわかりません。
変数変換すると思うのですがどの用にしたらいいのでしょうか。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
逐次積分に変換するだけ。
>∬D　ｘ＾２ｄｘｄｙ,ただしD：　ｘ＋ｙ≦２　x≧０　ｙ≧０
I=∫[0,2] (x^2)dx ∫[0,2-x] dy
=∫[0,2] (x^2)(2-x)dx
=∫[0,2] (2x^2 -x^3)dx
後は自分でできますね。

(2)
>∬D　sin(x+y)dxdy、ただしD:　0≦ｘ≦π/2, x≦ｙ≦π-ｘ
逐次積分に変換すると
I=∫[0,π/2] dx∫[x,π-x] sin(x+y)dy
=∫[0,π/2] {[-cos(x+y)] (y=π-x)-[-cos(x+y)](y=x)}dx
=∫[0,π/2] {-cosπ+cos(2x)}dx
後は自分でできオますね。

(3)
>∬D ｙｄｘｄｙ, ただしD：ｙ≧０,　1≦ｘ＾２＋ｙ＾２≦4
x=rcosθ,y=rsinθで置換すると、D⇒E:1≦r≦2, 0≦θ≦π
dxdy=rdrdθ　なので
I=∫[0,π]dθ∫[1,2] (r^2)sinθ dr
=∫[0,π] sinθdθ∫[1,2] (r^2)dr
={[-cosθ](θ=π)-[-cosθ](θ=0)}{[(r^3)/3](r=2)-[(r^3)/3](r=1)}
=(1+1){(8/3)-(1/3)}
後は自分でやってください。

お礼

ありあとうございます
理解できました。

回答No.1

Tacosan

「この」って, どれ?
(1) と (2) は単純に逐次積分で計算すればいいし, (3) に至ってはまさにそこに書いてあるそのまま.