次の三重積分を解いていただけると有難いです。

質問

極座標変換することにより、以下の積分を計算せよ。ただし、Rとdは正の定数で,z0は0<z0<R又はR+d<z0であるような定数とする。

∫∫∫ 1/√(x＾2+y＾2+(z0-z)＾2) dxdydz D={R^2≦x^2+y^2+z^2≦(R+d)^2}

rの範囲をどうとればいいのか分からないのと、θの積分計算で詰まってます。どなたか教えてください。

回答No.1

phyonco

ベクトルrr=(x,y,z)を考え、その長さをr = |rr| と書きます。積分領域Dは
R ≦ r ≦ R+d
と書き直すことが出来ますね。つまり、この積分は半径RとR+dの２つの同心球の間の部分にわたる積分になっています。z0に関する条件は、z0が半径Rの内側にあるか、半径R+d の外側にあるかのどちらかであるということです。被積分関数の分母は、z軸上の点z0からrrまでの距離になっています。点z0を
ベクトルの形でzz0 =(0,0,z0)と書く事が出来ます。そうすると、
被積分関数の分母 = |rr - zz0|
と書けて、結局この積分は
I = ∫∫∫ d^3 rr / |rr - zz0|
というわけです。rrは２球の間にあるので、z0に関する条件はzz0がrrに一致することはない、つまり被積分関数が常に有限であるという条件になっています。いま極座標変数を使って
rr=(rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ)
と書くと、
|rr - zz0|^2 = r^2 + z0^2 - 2 r z0 cosθ
積分体積素は
d^3 rr = r^2 dr dcosθ dφ、
と書け、積分範囲はrについては上で与えられており、角度変数については
-1 ≦ cosθ ＜ 1, 0 ≦ φ ＜ 2π
となっています。最初にcosθの積分をしましょう。
p = r^2 + z0^2 - 2 r z0 cosθ
とおけば、
I = 2π∫r^2 dr∫dp/√p /(2 r z0)
但しpに関する積分の範囲は
r^2 + z0^2 - 2 r z0 ≦ p ＜ r^2 + z0^2 + 2 r z0
で、積分Iの2πの因子はφの積分から出て来たものです。pの積分を実行すると、
∫dp/√p = 2√p
なので、
I = (2π/z0)∫r dr [√p1 - √p2 ]
となります。但しp積分の上限と下限をそれぞれp1, p2と書きました。
p1 = (r + z0)^2, p2 = (r - z0)^2
と書けることは直ぐに分かります。
√p1 = r + z0, √p2 = |r - z0|
そこで、
z0<R のとき、√p1 - √p2 = 2 z0
R+d<z0 のとき、√p1 - √p2 = 2 r
となるので、
z0<R のとき、I = 4π∫r dr = 2π [(R+d)^2 - R^2] = 2πd(d+2R)
R+d<z0 のとき、I = (4π/z0)∫r^2 dr
= (4π/3z0)[(R+d)^3 - R^3]
となります。
終わり//