３重積分を３次元極座標を用いる場合

質問

∫∫∫[D]x^2*y^2*dxdydz、D=｛(x,y,z):x^2+y^2+z^2≦1｝

という問題を３次元極座標を用いて計算するのですが、途中式で

∫[0→1]r^6dr∫[0→π]sin^5θdθ∫[0→2π]cos^2φ*sin^2φdφ

になると思います。その時のθとφについての積分の計算方法が分かりません・・・。
助けてください！お願いします＞＜

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

質問者さんの途中までの計算を信じて、チェックなしで、そこのやり方だけ書きますが、

∫(sinθ)^5 dθ は、∫(sinθ)^4 (sinθ)dθ として、
t = cosθとおくと、dt/dθ = -sinθ ⇔ -dt = (sinθ)dθ、
(sinθ)^4 = {(sinθ)^2}^2 = {1-(cosθ)^2} = (1-t^2)^2
なので、この路線で置換積分、

∫(cosφsinφ)^2 dφ = ∫(sin(2φ)/2)^2 dφ
= (1/4)∫(sin(2φ))^2 dφ = (1/4)∫(1-cos(4φ))/2 dφ
のようにして、計算できます。

もっと、次数が高くなったり、似たような計算をたくさんするときは、
部分積分使って、漸化式を作るコースの方が楽になりますが、
このくらいなら、置換積分と半角公式コースがてっとりばやいかと。

お礼

ありがとうございます！！！！！