三重積分の極座標変換のときのrの範囲が分からない

質問

大学数学の解析で分からない問題があります。

A={(x, y, z)∈R^3 | x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 ≦ 1, x, y, z ≧0}のとき、∫A (x^2 + y^2 + z^2)dxdydz を求めよ。（∫AのAは領域のことです。）

三次元極座標変換をして
∫(x^2 + y^2 + z^2)dxdydz = ∫r^2(r^2sinθdrdθdΦ)となり、積分自体はできるのですが、rの積分範囲が分からず困っています。

x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 ≦ 1 , x, y, z ≧0より
0≦x≦a,
0≦y≦b,
0≦z≦c,
全辺二乗して足せば、
0≦x^2+y^2+z^2≦a^2+b^2+c^2
つまり
0≦r^2≦a^2+b^2+c^2
0≦r≦(a^2+b^2+c^2)^(1/2)

と考えたのですが、計算が合いません。
θやΦも
0≦θ≦π/2
0≦Φ≦π/2
と考えたのですがあっていますでしょうか？

ちなみに答えは、πabc(a^2+b^2+c^2)/30となるようです。

そもそも方針が間違っているのでしょうか？
ご教授いただければ幸いです。

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

∭𝑨 f(x,y,z)dxdydz
=∫[0,π/2]∫[0,π/2]∫[0,1] f(arcosφsinθ,brsinφsinθ,crcosθ)|J|dθdφdr　
　(|J|はヤコビアンを表すものとする)

で計算すればよいのでは・・!

お礼

x=arcosφsinθ
y=brsinφsinθ
z=crcosθ
と置き換えた場合、積分範囲はすぐわかるのですが

被積分関数は
f(rcosφsinθ,brsinφsinθ,crcosθ)
=(rcosφsinθ)^2 + (brsinφsinθ)^2 + (crcosθ)^2
となり、これ以上綺麗な形にならない気がするのですが、rで積分した後、二倍角の公式など使ってφ,θと積分していくしかないのでしょうか？

回答No.2

EH1026TOYO

ANo.1・・!
---------------------
f(rcosφsinθ,brsinφsinθ,crcosθ)
=(rcosφsinθ)² + (brsinφsinθ)² + (crcosθ)²
----------------------
↑の計算だとaが抜け落ちているし、ヤコビアンの計算値が計算式中に反映されていない・・!

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rで積分した後、二倍角の公式など使ってφ,θと積分していくしかないのでしょうか？
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→積分計算そのものはθでの積分,φでの積分,rでの積分として計算できる・・!
地道に計算するしかないと思う・・!

お礼

ミスが多くてすみません！

やっぱり地道に計算するしかないのですね。
丁寧な回答ありがとうございました！