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三重積分
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前半部分は合ってるので、後半の問題について。 三次元の球座標についてはご存知でしょうか? 球座標を用いて「x,y,zの式」から「r,θ,φの式」に書き換えてください。このx,y,zとr,θ,φの間には、 x=rsinθcosφ y= rsinθsinφ z=rcosθ の関係があります。 (1)積分区間の書換え 積分区間は原点中心で半径1の球の内部ですから、 0≦r≦1 0≦θ≦2π 0≦φ≦2π です。 (2)被積分関数の書換え で、被積分関数は x^2 なので、書き換えると x^2=r^2sin^2(θ)・cos^2(φ) ですね。サイン2乗の書き方がちょっと見にくいですが。 (3)dxdydzの書換え ここで注意すべきは、忘れてならないヤコビアンです。 今回の場合ヤコビアンはr^2sinθですから、 dxdydz=r^2sinθ・drdθdφ と書き換えられます。 (4)いよいよ積分実行 x^2=r^2sin^2(θ)・cos^2(φ) dxdydz=r^2sinθ・drdθdφ より、 x^2 dxdydz =r^4・sin^3(θ)・cos^2(φ)・drdθdφ を積分すれば良いのです。ただし積分区間は 0≦r≦1 0≦θ≦2π 0≦φ≦2π です。うーん、ここから先はあまりやりたくないなあ。特にサイン3乗のあたりが。 rとφの積分はすぐできるはずです。 あっサイン3乗の積分がわからなかったらお礼欄にその旨書いてください。確か部分積分でできるはず。
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- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
siegmund です. 後半の話で,対称性から x^2 の代わりに y^2 や z^2 と書いても 積分値は同じですから x^2 + y^2 + z^2 = r^2 を使って ∫∫∫_D x^2 dxdydz = (1/3) ∫{r=0→a} r^2 4πr^2 dr とすれば三角関数の積分はやらないで済みます.
お礼
丁寧な説明ありうがとうございます。お蔭様で問題を解くことができました!!
- dollar
- ベストアンサー率33% (63/190)
すいません。一部訂正。 積分区間は半径1じゃなくて半径aでした。 従って積分区間は 0≦r≦a ですね。他のところは間違ってないはず。
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
前半はそのとおりです. でも, 「xを0≦x≦aで積分」とは言わないでしょう. 「xについて0から a まで積分」など. 後半は極座標を使う一手でしょう. 対称性から x^2 の代わりに y^2 や z^2 としても同じですから, 被積分関数を x^2 + y^2 + z^2 = r^2 として積分し, あとで 1/3 にするのが簡単でしょうか.
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お礼
ありがとうございます。サイン3乗の積分はわかるので大丈夫です。お蔭様でとくことができました(^^)v