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三重積分についてです

∬∫u y dxdydz, U : x≧0, y≧0, z≧0, x+y+z≦1 について積分値を計算するのですが、x,y,zについての範囲をどのように求めたらいいか、その後どのように計算すればいいかわかりません。 どなたかご指導お願いします。

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

Uは三角錐の領域です。 この3重積分は 先ずzについて積分すれば 積分領域　R={(x,y)|x+y≦1,x≧0,y≧0}上の積分になります。 V=∫∫∫[U] y dxdydz =∫∫[R] y{∫[0,1-x-y] dz}dxdy =∫∫[R] y(1-x-y)dxdy =∫[0,1]ydy∫[0,1-y] ((1-y)-x)dx =∫[0,1]ydy [(1-y)x-(1/2)x^2][x:0,1-y] =∫[0,1]ydy [(1-y)^2-(1/2)(1-y)^2] =(1/2)∫[0,1] y(1-y)^2 dy =(1/2)∫[0,1] (y-2y^2+y^3) dy =(1/2)[(1/2)y^2-(2/3)y^3+(1/4)y^4][0,1] =(1/2){(1/2)-(2/3)+(1/4)} =(1/24)(6-8+3) =1/24

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