• 締切済み

三重積分についての質問です。

∬∫ydxdydz   U: x>=0, y>=0, z>=0, x+y+z<=1 はどのような範囲で、どのような計算で導かれるのでしょうか。 ご指導よろしくお願いします。

みんなの回答

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.5

 質問者さんが困りそうな状況になってる気がするなあ。  でも丸投げの丸写しになったんでは意味がないんで、一体何がどうなってるのか、ゆっくり進めてみましょう。ご質問の積分   J = ∫∫∫[(x,y,z)∈A] y dx dy dz において、積分する領域Aは   A = {(x,y,z) | x≧0, y≧0, z≧0, x+y+z≦1} ですね。これを   A = {(x,y,z) | x≧0, z≧0, x+z≦1} ∩ {(x,y,z) | 0≦y≦1-x-z} と、ふたつの領域の共通部分として捉えることにします。この右辺の2つ目の領域に注目すると、(x,z)を具体的に決めれば、yの範囲が具体的に決まる。つまりこれは「各(x,z)について、yの範囲を表したもの」と読めるでしょう。  そこで、ある勝手な(x,z)における、被積分関数yのyに関する積分を考えれば、積分範囲は各(x,z)について決まり、   f(x,z) = ∫[0,1-x-z] y dy ということになる。当然これは(x,z)の各点で何か実数値を持つ2変数関数になり、実際、計算すると   f(x,z)= ((1-x-z)^2)/2 です。  これでyの話は片づいて、ご質問の積分は   J = ∫∫[(x,z)∈B] f(x,z) dx dz という二重積分になった。ただし積分する領域Bは、Aの右辺の一つ目の領域   B = {(x,z) | x≧0, z≧0, x+z≦1} です。  次にこの領域Bを   B = {(x,z) | 0≦x≦1} ∩ {(x,z) |0≦z≦1-x} と捉えることにして、右辺の2つ目の領域を「各xについて、zの範囲を表したもの」と読みます。  そして、ある勝手なxにおける、被積分関数f(x,z)のzに関する積分を考えると、積分範囲は各xについて決まるんですから、   g(x) = ∫[0,1-x] f(x,z) dz です。もちろんこれはxの各点で何か実数値を持つ1変数関数になる。  これでzの話も終わって、かくてご質問の積分は   J = ∫[x∈C] g(x) dx となりました。このとき、積分する領域Cは   C = { x | 0≦x≦1} ですから、つまり、   J = ∫[0,1] g(x) dx ということ。これを計算すればおしまいです。

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.4

√(1-x-y) が出てくる理由が無いからね。

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noname#171582
noname#171582
回答No.3

おいおい、答えが違うじゃないか。 ありゃ。

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

U = { (x,y,z) | 0≦y≦1 かつ 0≦z≦1-y かつ 0≦x≦1-y-z } とも書けるので、 重積分を累次積分に変換して、 ∫∫∫[U] y dxdydz = ∫[0≦y≦1] ∫[0≦z≦1-y] ∫[0≦x≦1-y-z] y dxdzdy = ∫[0≦y≦1] y ∫[0≦z≦1-y] ∫[0≦x≦1-y-z] dxdzdy = ∫[0≦y≦1] y ∫[0≦z≦1-y] (1-y-z) dzdy = ∫[0≦y≦1] y (1/2)(1-y)^2 dy = (1/2) ∫[0≦y≦1] y(1-y)^2 dy = (1/2) (1/12) = 1/24 となります。

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

∬∫[U] ydxdydz =∫[0,1] ydy∫[0,1-y] dx ∫[0,√(1-x-y)] dz =∫[0,1] ydy∫[0,1-y] √(1-y-x) dx =∫[0,1] ydy [-(2/3)(1-x-y)^(3/2)][0,1-y] =∫[0,1] (2/3){(1-y)^(3/2)} ydy =(2/3)∫[0,1] {(1-y)^(3/2)} ydy =(2/3)∫[0,1] {(1-y)^(3/2)}{1-(1-y)}dy =(2/3)∫[0,1] {(1-y)^(3/2) -(1-y)^(5/2)}dy =(2/3)[-(2/5)(1-y)^(5/2)+(2/7)(1-y)^(7/2)] [0,1] =8/105

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