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広義二重積分、三重積分

次の広義積分を求めよ。 （１）∬D 1 / ( x^2 + y^2 )^(α/2) dxdy D: x^2 + y^2 <= 1 ( 0 < α < 2 ) （２）∫∬v (√x^2+y^2+z^2) / ( 1 + x^2 + y^2 + z^2 )^3 dxdydz V:x >= 0, y >= 0, z >= 0 （１）の問題で、答えに範囲を 1/n^2 <= x^2 + y^2 <= 1 とすると書いてありましたが理由がわかりません。 何故1/n^2になるのですか？ （２）の問題も範囲がわからず解くことができません。 いまいち広義積分というのを理解できていないので どなたかわかりやすく説明して欲しいです。

  • LSei
  • お礼率43% (10/23)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Eiji57
  • ベストアンサー率27% (3/11)
回答No.1

(1)の積分範囲Ｄは、x^2 + y^2 <= 1、つまり半径１の円の内部ですが、 問題を見ると x^2 + y^2 が分母にあります。分母が０になると、（言い方が悪いですが）都合が悪いので、 原点(0,0)を除いた部分を積分範囲にしているのだと思います。 1/n^2になっているのは、x^2、y^2に合わせて２乗に、さらにnを限りなく大きく（無限大）にもっていくと、 範囲が 0<= x^2 + y^2 <= 1となり求めたい積分の範囲と一致します。 このように、積分範囲の上限か下限をまず文字に置き換えて積分して、 その後、極限をとるのが広義積分ではないかとおもいます。 (2)の範囲は、V:x >= 0, y >= 0, z >= 0 と書かれてあるので、 xは0から無限大、yも0から無限大、zも0から無限大ではないでしょうか。 長文、失礼しました。

LSei
質問者

お礼

早速の回答ありがとうございます。 ｎが二乗になっているのは合わせているからなのですね。 ふむ。 （２）で範囲が x^2 + y^2 + z^2 <= n^2　となっているのですが、これはどうしてなのでしょうか・・・？ ｘ、ｙ、ｚが無限大にいくから、それの上限をｎとして、ｘ、ｙ、ｚが二乗だからｎも二乗にしてるんですよね？ では、どうして足しているんでしょうか？？ （ｘ、ｙ、ｚを） うーん・・・よくわからないです・・・；；

その他の回答 (1)

  • kony0
  • ベストアンサー率36% (175/474)
回答No.2

> ｎが二乗になっているのは合わせているからなのですね。 > では、どうして足しているんでしょうか？？ どちらも、このあと「極座標変換」してませんか？

LSei
質問者

お礼

あ～なるほど＾＾ 極座標変換のためだったのか。。。 どうもありがとうございます＾＾

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