広義重積分

質問

広義重積分の問題です。
∬(x+y)/(x^2+y^2)dxdy D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x,(x,y)≠(0,0)}
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

noname#232123 · ベストアンサー

極座標に変換します。（εは十分小さい正数）
I=∫∫[D-(0,0)]{(x+y)/(x^2+y^2)}dxdy
=∫[0 to pi/4]∫[ε to 1/cosφ]{r*(cosφ+sinφ)/r^2}*rdrdφ
=∫[0 to pi/4]{1+tanφ-ε(cosφ+sinφ)}dφ
=[φ+ln|cosφ|-ε(sinφ-cosφ)]
=pi/4+ln(1/√2) - ε → pi/4 - (1/2)ln2. (ε → 0)
となりました。

お礼

分かりやすく教えていただきありがとうございました。

回答No.2

info222_

∬(x+y)/(x^2+y^2)dxdy, D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x,(x,y)≠(0,0)}
=∫[0,1] dx ∫[0,x]{x/(x^2+y^2)+y/(x^2+y^2)}dy
公式：{tan^-1(t/a)}'=a/(t^2+a^2}を用いて
=∫[0,1] dx {tan^-1(y/x)+(1/2)log(x^2+y^2)][0,x]}
=∫[0,1] dx {tan^-1(1)-tan^-1(0)+(1/2)log(2x^2)-(1/2)log(x^2)}
=∫[0,1] {π/4-0+(1/2)log(2)} dx
={π/4+(1/2)log(2)}∫[0,1] dx
={π/4+(1/2)log(2)}[x][0,1]
=π/4+(1/2)log(2) ...(答)

お礼

ありがとうございました

回答No.1

Ae610

∬(x+y)/(x^2+y^2)dxdy 　　D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x,(x,y)≠(0,0)}
= π/4 + (1/2)・log2