二重積分の問題が分かりません。

質問

二重積分の問題が分かりません。
(1)∬[D] xy/(x^2+y^2)^3 dxdy D={(x,y)|0≦x≦∞,0≦y≦∞}
(2)∬[D] e^-4x^2+4xy-17y^2 dxdy D={(x,y)|-∞<x,y<∞}
以上の二問なのですが、解き方が分からず困っています。
どなたかご教授お願いします。

回答No.7

Tacosan · ベストアンサー

(2) はまじめに変数変換するのがいいと思う.
ちなみに答えは π/8 なので, これ以外の値が出たらやり直し.

回答No.6

Tacosan

今更確認するんだけど, (2) の被積分関数は
e^(-4x^2+4xy-17y^2)
ですか? もしそうならちゃんとかっこをつけてください. 質問文のままだと普通は
(e^-4)x^2 + 4xy - 17y^2
と解釈しますよ.
で, と.
前者のように解釈するなら, 0 でない有限の値に収束してくれないと困ります＞#5. というか, ∞に発散したり 0 になったりすると確率論が崩壊する.

お礼

質問者様の仰る通り(2)はe^(-4x^2+4xy-17y^2)のつもりでした。
誤解を招くような書き方をしてしまい申し訳ありませんでした。。
何度も丁寧な回答ありがとうございます。本当に参考になっています。

回答No.5

noname#29493

また間違えに気付いた。本当にすいません！
(2)について述べます。
4cde^{-4(ct)^2+4(ct)(ds)-17(ds)^2}はc,d→∞にすると0に収束と書いたが大きな誤りです。
まずtとsがいずれも0でないときはこれは0に収束するのですが、積分の平均値からtとsは-1から1までいずれかのあるという意味だからt,sは0であることも考えないといけませんでした。 e^-4x^2+4xy-17y^2は
(x,y)平面上の中で必ずある領域内では0より大きいし、かつ(x,y)平面上負の値にはならないから0としたのは間違え。
したがって、ここからtとsは少なくとも一方は0でなくてはいけないことが分かります。
例えばs=0でtは0でない場合を考えると4cde^{-4(ct)^2}でc,d→∞とすればあるc,dの近づきかたでは0に収束すれば無限に発散する場合があります。(考えてみてください)
sとtを逆にして考えても同じです。
今度はs,tともに0である場合を考えます。
そうすると見事にc,d→∞にすると4cde^{-4(ct)^2+4(ct)(ds)-17(ds)^2}は∞に発散します。
すなわち以上から0に収束することは反するためs,tともに0で
∬[D] e^-4x^2+4xy-17y^2 dxdy は∞に発散します。
同様にして(1)も今の方針と同じように計算は大変ですが
Z=c^2ty/{(ct)^2＋y^2}^3とし、Zをyについてaから1までと1からdまで
の積分を考えて(ただし0<a<1,1<d)
∫Zdy(a≦y≦1)＋∫Zdy(1≦y≦d)で
これをa→0,d→∞に。
そして積分の平均値の定理を使って解いて今のようにZの範囲を考えて
矛盾がないか確かめてやってみてください。
答えはこれも∞に発散します。
今後ももしかしたら勘違いあるかもしれませんが、あればここに書きます。本当に何度も訂正、まだまだ私の勉強不足ですみません。

回答No.4

Tacosan

積分範囲の全域で非負かつ少なくともある領域において正であるような関数を定積分して, なんで結果が 0 になると思えるんだろう (苦笑).
素直に置換積分してください... いや, 下はあんまり素直でもないか. 指数部分を 2次形式だと思って標準形に変換すれば置換積分したくなると思います.

回答No.3

noname#29493

最初に回答してしまった(1)の5行目まではあっているけど6行目から訂正します。
Z=c^2ty/{(ct)^2＋y^2}^3とし、Zをyについてaから1までと1からdまで
の積分を考えます(ただし0<a<1,1<d)
最終的な値としては∫Zdy(a≦y≦1)＋∫Zdy(1≦y≦d)で
これをa→0,d→∞にしたときの値になります。
そうするとさっきの方法(積分の平均値の定理)を使って解くと(計算はめんどうですが)0になります。
これについては私も計算ミスあるかもしれませんので間違いに気づいたら新たに訂正します

回答No.2

noname#29493

あ、悪い。(1)についてだけど
c^2ty/{(ct)^2＋y^2}^3はy=0について連続でないから積分の平均値は使えない。だからさっき答えた(1)の解法は無視してください。もうちょっとやり方を考えておきます。
(2)は大丈夫かなと思いますが、もしもまた訂正があったら書いておきます

回答No.1

noname#29493

(1)普通はx=・・・,y＝・・・と変数変換してやるものだけどちょっとここでは違うやり方でやります。
まずxy/(x^2+y^2)^3をxで0からc(>0)まで積分を考えます。
今xy/(x^2+y^2)^3はxについて0からcまで連続関数であるから
積分の平均値の定理よりあるt(0≦t≦1)が存在して
∫xy/(x^2+y^2)^3dx(0≦x≦c)＝c^2ty/{(ct)^2＋y^2}^3
さらに今度はc^2ty/{(ct)^2＋y^2}^3のyについて0からd(>0)まで積分を考えると同じくこれも連続なので積分の平均値の定理によりあるs
(0≦s≦1)があって
∫c^2ty/{(ct)^2＋y^2}^3dy(0≦y≦d)
＝(c^2)(d^2)ts/{(ct)^2＋(ds)^2}^3
ここで(c^2)(d^2)ts/{(ct)^2＋(ds)^2}^3　(c,d→∞)
を考えます。そうすると(c^2)(d^2)ts/{(ct)^2＋(ds)^2}^3は
0に収束します。(これについてはちょっと考えてほしいところ)
したがって∬[D] xy/(x^2+y^2)^3 dxdy＝0となります。

(2) これも同様に積分の平均値を利用して行うと
結果は0になる。
解法ものせておこう。
Z=e^-4x^2+4xy-17y^2とおいてZをxについて-cからcまで(c>0)積分することを考える。そうするとあるt(-1≦t≦1)が存在して
∫Zdx(-c≦x≦c)＝2ce^{-4(ct)^2+4(ct)y-17y^2}
yについても同様な操作で考えるとあるs(-1≦s≦1)があって(dはd>0とする)
∫2ce^{-4(ct)^2+4(ct)y-17y^2}dy(-d≦y≦d)
＝4cde^{-4(ct)^2+4(ct)(ds)-17(ds)^2}
これにc,d→∞とすると
4cde^{-4(ct)^2+4(ct)(ds)-17(ds)^2}は0に収束する。
(これについてもなぜ0に収束するか考えてほしい)
よって∬[D] e^-4x^2+4xy-17y^2 dxdy＝0

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。たいへん参考になりました。
この解き方ははじめて見たのでまだ良くわかっていませんが考えてみます。