2次元極座標の速度

質問

2次元平面内を運動する物体がある。この物体の運動をデカルト座標を
用いて表すと、その速度は
v(t)={dx(t)/dt}i+{dy(t)/dt}j　　(v(t)は速度ベクトル)
と表せる。但し、i,jはx軸y軸それぞれの単位ベクトルを表すものとする。
同様のことを２次元極座標を使って表すと、動径方向の単位ベクトルをer(t)、
角度方向の単位ベクトルをeθ(t)として、
v(t)={dr(t)/dt}er(t)+r{dθ(t)/dt}eθ(t)
と書けることを示せ。但し、r(t)=√{x(t)^2+y(t)^2}とし、角度θ(t)は
x軸から測った角度とする。(x(t)=r(t)cosθ(t),y(t)=r(t)sinθ(t))

という問題ですが、
(解)(長くなるので途中の式は省きます。)
dx(t)/dt={dr(t)/dt}cosθ(t)-r(t){dθ(t)/dt}sinθ(t)
dy(t)/dt={dr(t)/dt}sinθ(t)+r(t){dθ(t)/dt}cosθ(t)
とそれぞれ求め、v(t)={dx(t)/dt}i+{dy(t)/dt}jに代入すると
v(t)={dr(t)/dt}{cosθ(t)i+sinθ(t)j}+r(t){dθ(t)/dt}{-sinθ(t)i+cosθ(t)j}・・・ア
と表せる。
er(t)=Ai+Bj
eθ(t)=Ci+DjとおいてA,B,C,Dをもとめると
er(t)=cosθ(t)i+sinθ(t)j・・・イ
eθ(t)=-sinθ(t)i+cosθ(t)j・・・ウ
アイウよりv(t)={dr(t)/dt}er(t)+r{dθ(t)/dt}eθ(t)と表せる。

という解き方をしたんですが、適切ですか？
お願いします。もっといい解き方があれば教えてください。

回答No.1

de_Raemon

デカルト座標と極座標の関係が
er(t) = cosθ(t)i+sinθ(t)j ・・・(1)
eθ(t) = -sinθ(t)i+cosθ(t)j ・・・(2)
なので(1)をtで微分して
d(er(t))/dt = (dθ(t)/dt)eθ(t) ・・・(3)
であることがわかります。

物体の位置ベクトルをR(t)とすると
R(t) = r(t)er(t) ・・・(4)
と書けるので、(4)をtで微分して(3)を使うと
v(t) = dR(t)/dt = (dr(t)/dt)er(t)+r(t)d(er(t))/dt
= (dr(t)/dt)er(t)+r(t)(dθ(t)/dt)eθ(t) ・・・(5)
を得ます。

お礼

なるほど、こちらの方が簡潔にできそうですね。
こっちでやってみます。
ありがとうございます。