３重積分

質問

∬∫_D 1/√1+(x^2+y^2+z^2)3/2 dxdydz

D:x^2+y^2+z^2≦1,x≧0,y≧0,z≧0

極座標変数を利用して積分値を求めよ

風邪で授業受けれなくて
解き方が全くわかりません!!

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

空間の極座標変換とは、

平面では、P(x,y)を、OPの距離をr、OPとx軸とのなす角をθとして、
このr,θを使って、P(r,θ)のように表すのが、極座標変換、
(x,y),(r,θ)には、x^2+y^2=r^2, x=r*cosθ, y = r*sinθ
などの関係が成り立ちます。

それに対し、空間では、角度は２つないと、空間の点を表せないので、
やり方は、何通りかありますが、例えば、
P(x,y,z)を、OPの距離をr、OPとxy平面とのなす角をθ、
OPとyz平面とのなす角をφとして、P(r,θ,φ)のように表すのが、
空間の極座標で、この場合には、
x^2+y^2+z^2=r^2、x=r*sinθ*cosφ、y=r*sinθ*sinφ、z=r*cosθ
などの関係が成り立ち、これから、ヤコビアンを計算すると、
|J| = (r^2)sinθ となります。

これから、ご質問の３重積分は、√は、dxの直前までかかっていて、
(x^2+y^2+z^2)のあとの3/2は、3/2乗のことだと仮定すれば
(違っていれば、元の式に合わせて変更してください)、
その被積分関数に、上の関係式を代入して、r,θ,φの式に直し、
それにヤコビアンをかけたもの
√(1 + r^3) * r^2 * sinθ を、

r^2=x^2+y^2+z^2≦1 と、x,y,z≧0から、Dは第１象限にあるので、
D' = {(r,θ,φ) | 0≦r≦1, 0≦θ≦π/2, 0≦φ≦π/2}
という積分範囲で積分すればよい。

ということになります。

元の式が定かではないので、計算のところはパスしておきます。

お礼

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございます。