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3重積分の問題

∫∫∫_V x dxdydz V={(x,y,z)|0<=x<=y<=1 , 0<=z<=x+y} という問題の解き方を教えてください。 D={(x,y)| x<=y<=1 , 0<=x<=1} 0<=z<=x+y　として zから積分していったら答えが5/24となりました。 しかし3/8とならなければならない問題です。 教えてください。

  • ausuz
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  • info22_
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回答No.1

I=∫∫∫_V x dxdydz, V={(x,y,z)|0<=x<=y<=1 , 0<=z<=x+y} =∫[0,1] xdx∫[x,1] dy∫[0,x+y] dz =∫[0,1] xdx∫[x,1] (x+y) dy =∫[0,1] x {[xy +y^2/2](y=1)-[xy +y^2/2](y=x)} dx =∫[0,1] x {[x+(1/2)]-[x^2 +x^2/2]} dx =∫[0,1] {x^2 +x/2-(3/2)x^3} dx = [(1/3)x^3 +(1/4)x^2 -(3/8)x^4](x=1) =(1/3)+(1/4)-(3/8) =(8+6-9)/24 = 5/24 です。 したがって 質問者さんの答え「5/24」が合っています。 問題の答え「3/8」は間違ってますね。 さもなくば問題そのものに間違いがある可能性があります。

その他の回答 (1)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

5/24 ですねえ。 この反復積分は、dz dy dx の順でやるよりも、 dz dx dy の順でやったほうが、計算は楽です。dz dy dx でやって、dy の積分区間 [x,1] を [0,x] と間違えると、答えが 3/8 になるようですが…

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