3重積分の問題

質問

∫∫∫_V x dxdydz V={(x,y,z)|0<=x<=y<=1 , 0<=z<=x+y}
という問題の解き方を教えてください。
D={(x,y)| x<=y<=1 , 0<=x<=1} 0<=z<=x+y　として
zから積分していったら答えが5/24となりました。
しかし3/8とならなければならない問題です。
教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

I=∫∫∫_V x dxdydz, V={(x,y,z)|0<=x<=y<=1 , 0<=z<=x+y}
=∫[0,1] xdx∫[x,1] dy∫[0,x+y] dz
=∫[0,1] xdx∫[x,1] (x+y) dy
=∫[0,1] x {[xy +y^2/2](y=1)-[xy +y^2/2](y=x)} dx
=∫[0,1] x {[x+(1/2)]-[x^2 +x^2/2]} dx
=∫[0,1] {x^2 +x/2-(3/2)x^3} dx
= [(1/3)x^3 +(1/4)x^2 -(3/8)x^4](x=1)
=(1/3)+(1/4)-(3/8)
=(8+6-9)/24
= 5/24
です。

したがって
質問者さんの答え「5/24」が合っています。

問題の答え「3/8」は間違ってますね。
さもなくば問題そのものに間違いがある可能性があります。

回答No.2

alice_44

5/24 ですねえ。
この反復積分は、dz dy dx の順でやるよりも、
dz dx dy の順でやったほうが、計算は楽です。dz dy dx でやって、dy の積分区間 [x,1] を
[0,x] と間違えると、答えが 3/8 になるようですが…