重積分

質問

重積分の問題で、

∫∫∫x^2 dxdydz （x^2+y^2+z^2 ≦ a^2）

という問題があったのですが、
解説を読んでも意味がわかりませんでした。
解説には、

x=一定の面、｛（y,z) ： y^2+z^2≦a^2-x^2｝の面積はS=π（a^2-x^2）であるから、
与式=∫x^2・S dx （積分区間は-aからaまで）
となり、答えは4/15πa^5

と書いてあったのですが、x=一定・・のところがよくわかりません。
どのように考えればいいのでしょうか?

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

被積分関数がxだけの関数 (x^2)なので
I=∫∫∫x^2 dxdydz
=∫[-a→a](x^2){∫[y^2+z^2≦a^2-x^2] 1 dydz}dx
=∫[-a→a](x^2)S(x)dx
と書けるのです。
ここで、S(x)の部分の積分は半径√(a^2-x^2)の円の内部の積分なので
　∫[y^2+z^2≦a^2-x^2] 1 dydz (-a≦x≦a)
　 =π(a^2-x^2) (-a≦x≦a)
となりますが、これを　S(x)　とおいているだけです。

参考）
I=∫[-a→a](x^2)S(x)dx
=π∫[-a→a](x^2)(a^2-x^2)dx
=2π∫[0→a] (a^2)(x^2-x^4)dx
=(4/15)πa^5

回答No.2

hugen

∫∫∫x^2 dxdydz
＝
Σx(i)^2 Δx(i)Δy(j)Δz(k)
＝
Σ[i]Σ[j,k]x(i)^2 Δx(i)Δy(j)Δz(k)
＝
Σ[i]x(i)^2{Σ[j,k] Δy(j)Δz(k)}Δx(i)
＝
Σ[i]x(i)^2 S(xi)Δx(i)＝∫x^2・S dx

回答No.1

R_Earl

> x=一定・・のところがよくわかりません。

まず2次元に立ち戻って考えます。
xy平面上で、x = 3は「x座標3の点をつなげた直線」になります。
(3, 1)とか(3, -2)とか(3, 1/2)とか、とにかくx座標3の場所に点を打っていくと、
y軸に平行な直線になりますよね。

3次元でも同様に考えてください。
xyz平面上では、x = 3は「x座標3の点をつなげた平面」になります。
(3, 0, 0)とか(3, 1, 0)とか(3, 0, 1)とか(3, -1, -2)とか、
とにかくx座標3の場所に点を打っていくと、
「yz平面に平行な平面」になりますよね。