３重積分に関する問題

質問

R^3上の広義積分
　　（１）∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
　　（２）∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
ただし、Q(x,y,z)=(x y z) A t(x y z)、Aは、上から、
　　　A=(2 -1 1)(|-1 2 -1)(|1 -1 2)
で与えられているとします。上記の二つの積分を求めたいのですが、（１）に関しては次のように考えました。

（１）まず、Q(x,y,z)の標準化を考え、直行行列Pを用いてAを対角化します。そうすると、Pは（ただし、Aの固有値は4、1)、上から(最初の(1/√6)は係数）、
　P= (1/√6)(√2 -√3　 1)(-√2 　 0 2)(√2 √3 1)
となり、U=tPAPと置くと、A=PUtPとなるので、
　　Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)。
ここで、(x' y' z')=tPt(x y z)と置くと、
　Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)=(x' y' z')Ut(x' y' z')=F(x',y',z')
と変換でき、またヤコビアンJ(x',y',z')=-2/3より、
　∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
=(2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
となります。よって、
　(2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
=(2/3)∫[-∞,∞] e^(-4x'^2)dx'∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz'
ここで、x'=(1/2)sと置くと、上式は、
=(1/3)∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz'
=(1/3)(∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds)^3
ここで、∫[-∞,∞] e^(-x^2)dx=√π より、
=(1/3)π√π
となりましたが、これで正しいでしょうか？また、（２）に関しては、
　∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
=∫∫∫[R^3] (x'^2 + y'^2 +z'^2)e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
としたところで止まってしまいました。どうやって考えればよいのでしょうか？

以上です。どなたかお力添えしていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。長文失礼しました。

回答No.1

PRFRD

(1)
ヤコビアンが間違っています．ヤコビアンは det P ですが，
P は直交行列なので±1しか取らないはずです．

それ以外は正しく，答えは (√π)^3/2 となります．

(2)
その式から，足し算をバラして
　∫∫∫[R^3] (x'^2) e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
みたいなものを３つ考え，それぞれ計算して足します．
この式の場合 y' と z' に関しては (1) と同様に計算し，x' に関しては
　∫[-∞,∞] s^2 exp(-s^2) ds = (√π)/2
を使って計算すれば良いです．答えは 9(√π)^3/16 となります．

お礼

ご回答ありがとうございます。
（１）に関して、直行行列の行列式の値は±１というのを、忘れていました。ご指摘ありがとうございます。そのほかの部分は正解ということですので、今一度計算しなおします。（２）に関するアドバイスありがとうございます。これで、解けそうです。ご丁寧に解答まで教えていただきまして、大変助かりました。
どうもありがとうございました。