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変数分離型の積分？
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R^3上の広義積分 （１）∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz （２）∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz ただし、Q(x,y,z)=(x y z) A t(x y z)、Aは、上から、 A=(2 -1 1)(|-1 2 -1)(|1 -1 2) で与えられているとします。上記の二つの積分を求めたいのですが、（１）に関しては次のように考えました。 （１）まず、Q(x,y,z)の標準化を考え、直行行列Pを用いてAを対角化します。そうすると、Pは（ただし、Aの固有値は4、1)、上から(最初の(1/√6)は係数）、 P= (1/√6)(√2 -√3 1)(-√2 0 2)(√2 √3 1) となり、U=tPAPと置くと、A=PUtPとなるので、 Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)。 ここで、(x' y' z')=tPt(x y z)と置くと、 Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)=(x' y' z')Ut(x' y' z')=F(x',y',z') と変換でき、またヤコビアンJ(x',y',z')=-2/3より、 ∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz =(2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz' となります。よって、 (2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz' =(2/3)∫[-∞,∞] e^(-4x'^2)dx'∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz' ここで、x'=(1/2)sと置くと、上式は、 =(1/3)∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz' =(1/3)(∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds)^3 ここで、∫[-∞,∞] e^(-x^2)dx=√π より、 =(1/3)π√π となりましたが、これで正しいでしょうか？また、（２）に関しては、 ∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz =∫∫∫[R^3] (x'^2 + y'^2 +z'^2)e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz' としたところで止まってしまいました。どうやって考えればよいのでしょうか？ 以上です。どなたかお力添えしていただけないでしょうか？ よろしくお願いします。長文失礼しました。
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