完全形でない3変数関数の微分方程式の解法

質問

全微分方程式A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz=0がある。この式をPとおく。ここで、ベクトル値関数f=[A,B,C]とおき、f・(rotf)=0となるならばPは積分可能でその一般解は下記の手順により求まる。

手順1:Pについてdz=0とすると、Adx+Bdy=0となる。この式をQとおく。これが(∂A/∂y)=(∂B/∂x)を満たすとき、また満たさないときは積分因子μをかけることによりこのQの一般解ξ(x,y,z)=E (Eは定数)が得られる。

手順2:Pの両辺にλをかけたものの一般解を求める。するとλAdx=(∂ξ/∂x)となる。これから、λの値を求める。

手順3:ξの全微分はdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy+(∂ξ/∂z)dzとなり、このうち(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dyはλAdx+λBdyとなるが、最後の(∂ξ/∂z)dzだけはλRdzとなるかは不明である。
dξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy+(∂ξ/∂z)dzと(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy=λAdx+λBdyより、λAdx+λBdy=dξ-(∂ξ/∂z)dzとなる。

するとPの両辺にλをかけた式は、λAdx+λBdy+λCdz=dξ+{λC-(∂ξ/∂z)}dz=0となる。
ここで、λC-(∂ξ/∂z)=ηとおくと、λAdx+λBdy+λCdz=dξ+ηdz=0となり、2変数の全微分方程式dξ+ηdz=0が得られる。この解が結局全微分方程式Pの一般解となる。

ここで質問です。
手順1でdz=0とした式Adx+Bdy=0 (∂A/∂y)=(∂B/∂x)、またはμAdx+μBdy=0　(∂μA/∂y)=(∂μB/∂x)を解くとこの一般解、ξ(x,y,z)=Eが得られ、この関数ξの全微分はdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy=Adx+Bdy=0、またはdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy=μAdx+μBdy=0になるのが分かります。

手順2,3でλAdx+λBdy+λCdz=0という式が出てきますが、これはλをかける事により完全形になっていると思われます。しかしなぜλAdx=(∂ξ/∂x)となるのかが分かりません。ξはAdx+Bdy=0の解として現れる関数なので、λAdx+λBdy+λCdz=0を満たす関数は別にあり、例えばこれをσとすると、この関数の全微分はdσ=(∂σ/∂x)dx+(∂σ/∂y)dy+(∂σ/∂z)dz=λAdx+λBdy+λCdz=0となり、λAdx=(∂σ/∂x)dxとなるのではないのでしょうか？
それともこの関数σがξと一致すると仮定しているのでしょうか？

それからもう1つ気になるのですが、手順3で「最後の(∂ξ/∂z)dzだけはλRdzとなるかは不明である。」とありますが、これもよく意味が分かりません。なぜ(∂ξ/∂z)dzだけλRdzとはなるか分からないのでしょうか？

おそらく私が根本的に間違っていると思いますので、詳しい方教えてください。お願いします。

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

私も専門家ではありませんので間違いがあるかもしれませんが。そもそも手順が変な気がします…。「手順2:Pの両辺にλをかけたものの一般解を求める」とありますが、これは λ≠0 である限り「Pの一般解を求める」のと等価です。「Pの一般解を求める手順」の中に「Pの一般解を求める」という step が含まれていて堂々巡りです。他にも変な点はあります。λ や R は、一体何なのか定義していないのに、突然既知のものであるかのように登場しています。

今一度手順を確認されてみては如何でしょう。(例えば、抜け・読み飛ばしがないか、ξ (グザイ) と ζ (ゼータ) を混同していないかなど…)

勝手に手順を想像で復元(?)すると:

手順1: q = Adx + Bdy とすると、λq = dξ (dz=0) と積分できる。但し、q が完全形式の場合は λ = 1, それ以外の場合は積分因子 μ が必ず存在して λ = μ.

手順2: dξ = λq + (∂ξ/∂z) dz (dz≠0) である。p = Adx + Bdy + Cdz とすると λp = λq + λCdz = dξ + ηdz, 但し η = λC - (∂ξ/∂z). ここで、別の積分因子 λ_2 を以て λ_2 (dξ + ηdz) = dσ と積分する。ここで λ_2 λ p = dσ = 0 なので、一般解は σ(x,y,z) = F (F は定数).

※注意: f・rot f = 0 を用いると dη = (略) dξ + (∂ξ/∂z) dz、つまり η = η(ξ, z) となる事が示せます。この事によって初めて dξ + η(ξ, z)dz が可積分である事が保証されます。

参考:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E7%B3%BB%E3%81%AE%E5%8F%AF%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%9D%A1%E4%BB%B6

お礼

回答していただきありがとうございます。
まず記述ミスについて確認してみたのですが、私のほうで多少文章は変えている以外は本質的には文字も含めて写し間違いはないように見えます。
ご指摘の手順について本当にありがとうございます。

q = Adx + Bdy=0が完全形ならばq=dξとして、完全形でないならば積分因子λ = μをかけてλq=λAdx + λBdy=dξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dyとして積分計算することにより解を求めることができますが、この時のdξというのはもともとあった(∂ξ/∂z) dzの項がdz=0のため消えているわけですね。そして元のdξというのを復元するとdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy+(∂ξ/∂z) dzとなり、この(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dyをλAdx + λBdyで置き換えると、λAdx + λBdy=dξ-(∂ξ/∂z) dzという式になります。またλp=λAdx + λBdy + λCdz=0(dz≠0という式)についてλAdx + λBdy=dξ-(∂ξ/∂z) dzを代入すると、λp=dξ + ηdz=0 (λC - (∂ξ/∂z))という関係式ができるので、これが完全形でないときは新たな積分因子を用いて積分して解を求めると、これがλp,またpの解にもなっているわけですね。

とても助かりました!!

回答No.1

trytobe

全然わかっていませんが、気になったことだけご参考になれば。

・P: Adx+Bdy+Cdz=0 の dz=0 のとき、つまり Q の一般解が ξ(x,y,z)=E なので、P の 両辺に λ
を掛けた λAdx+λBdy+λCdz=0 のときでも、ξ(x,y,z)=E は解の一つとなり、手順1でも手順2でも ξ(x,y,z)=E が解となることから、これを x について偏微分した (∂ξ/∂x) は Adx のλ倍になってるはず（自信が無い）

・「最後の(∂ξ/∂z)dzだけはλRdzとなるかは不明」は、「最後の(∂ξ/∂z)dzだけはλEdz（λξdz）となるかは不明」の写し間違いかと（dz=0の前提でのQの一般解ξ(x,y,z)=E に関する言及のはず）

お礼

回答していただきありがとうございます。
私の方ももう一度確認してみたのですが、やはり「最後の(∂ξ/∂z)dzだけはλRdzとなるかは不明」と記述されているみたいです。