微分方程式

質問

x(dy)/(dx)+2y=xという微分方程式を解くのですが、これをxでわると
(dy)/(dx)+(2y)/(x)=1となるのはわかるのですが、その後、
z=(y)/(x),y=xz・・(1)として
（dy)/(dx)=z+x(dz)/(dx)・・(2)
となる(1)から(2)への展開のところがわかりません。
(2)の左辺はyをｘで微分しているのがわかるのですが、右辺の意味がわかりません。教えて下さい。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>となる(1)から(2)への展開のところがわかりません。
y=xz
のzは
z(x)
つまりxの関数なのです。
yはxの関数ですから
y=xz
とおけば
zは当然xの関数になるわけです。
z=f(x)と考えれば
d(xz)/dx=d(xf(x)/dx=x'f(x)+xf'(x)
=f(x)+xf'(x)
z=f(x)ですからdz/dx=f'(x)ですね。
したがって
(1)の右辺のxによる微分は
d(xz)=z+xdz/dx
になります。

お分かりですか？

お礼

ご回答いただきありがとうございました。
詳しく書いていただいたのでわかりました。

回答No.1

R_Earl

> 右辺の意味がわかりません。教えて下さい。

合成関数の微分です。

{ f(x)g(x) }' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

この公式のf(x)をxに、g(x)をzに置き換えて考えてみると

{ xz }' = (x)'z + x(z')
{ xz }' = z + x{ (dz)/(dx) }　(z' = { (dz)/(dx) }です)

となります。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
とても助かりました。