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微分方程式

dx/dt=3y dy/dt=x-z dz/dt=-y この微分方程式の解法をお願いします。

noname#209562
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  • yyssaa
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>回答No.1の続きです。 微分演算子をDと書くと、 x'''-4x'=0は(D^3-4D)x=0、D(D^2-4)x=0、 D(D+2)(D-2)x=0だから補助方程式は h(h+2)(h-2)=0で、その解はh=0,-2,2 従ってC1、C2、C3を任意定数として、 x=C1+C2e^(-2t)+C3e^(2t)・・・答1 これをdx/dt=3yに代入して y=(1/3)dx/dt=(1/3){-2C2e^(-2t)+2C3e^(2t)} =-(2/3)C2e^(-2t)+(2/3)C3e^(2t)・・・答2 これらをdy/dt=x-zに代入して z=x-dy/dt=C1+C2e^(-2t)+C3e^(2t)-{(4/3)C2e^(-2t)+(4/3)C3e^(2t)} =C1-(1/3)C2e^(-2t)-(1/3)C3e^(2t)・・・答3 (検算) ∫3ydt=∫{-2C2e^(-2t)+2C3e^(2t)}dt =C2e^(-2t)+C3e^(2t)+C(積分定数)=x よってdx/dt=3y ∫(x-z)dt=∫[{C1+C2e^(-2t)+C3e^(2t)}-{C1-(1/3)C2e^(-2t)-(1/3)C3e^(2t)}]dt =∫{(4/3)C2e^(-2t)+(4/3)C3e^(2t)}dt =-(2/3)C2e^(-2t)+(2/3)C3e^(2t)+C(積分定数)=y+C(積分定数) よってd(y+C)dt=dy/dt=x-z ∫(-y)dt=∫{(2/3)C2e^(-2t)-(2/3)C3e^(2t)}dt =-(1/3)C2e^(-2t)-(1/3)C3e^(2t)+C(積分定数)=z よってdz/dt=-y (検算終わり)

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)

dx/dt=x', dy/dt=y', dz/dt=z'のように微分を「'」を使って書けば x'=3y ...(1) y'=x-z ...(2) z'=-y ...(3) (2)をtで微分し(1),(3)を代入すると y''=x'-z'=3y+y=4y すなわち y''-4y=0 ...(4) この2階線形微分方程式の解は y=c1e^(2t)+c2e^(-2t) ...(5) (5)を(1)に代入 x'=3c1e^(2t)+3c2e^(-2t) ...(6) これを解くと x=(3/2)c1e^(2t)+(3/2)c2e^(-2t)+c3 ...(7) (5)を(3)に代入 z'=-c1e^(2t)-c2e^(-2t) ...(8) これを解くと z=-(1/2)c1e^(2t)+(1/2)c2e^(-2t)+c4 ...(9) (7),(9)を(2)に代入 y'=2c1e^(2t)+c2e^(-2t)+c3-c4 ...(10) (5)より y'=2c1e^(2t)-2c2e^(-2t) ...(11) (10),(11)より c2=0, c4=c3 (5),(7),(9)に代入 (答) x=(3/2)c1e^(2t)+c3 y=c1e^(2t) z=c3-(1/2)c1e^(2t) (ただし c1,c3は任意定数)

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  • 回答No.1
  • yyssaa
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d(dx/dt)/dt=3dy/dt=3(x-z) d(d(dx/dt)/dt)/dt=3(dx/dt-dz/dt)=3dx/dt+3y =3dx/dt+dx/dt=4dx/dtだから dx/dt=x'と書いて、x'''-4x'=0を解けばよい。

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