z=(-x/y)*(dy/dx) を dz/dxで微分すると？

質問

z=(-x/y)*(dy/dx) を dz/dxで微分すると？

微分に関して分らない問題があります。

あるテキストの解法の途中で、

「z=(-x/y)*(dy/dx) ⇒ dz/dxで微分 ⇒ dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)」

となっているのですが、この原理について、調べてみてもなかなか見つかりません。
どなたか原理の分かる方おられませんでしょうか。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>z=(-x/y)*(dy/dx) ⇒ dz/dx ⇒ dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)
これは間違い。

正：dz/dx=-(dx/dx)*(1/y)*(dy/dx)-x*d(1/y)/dy)*(dy/dx)-(x/y)*d(dy/dx)/dx
=-(1/y)*(dy/dx)+(x/y^2)*(dy/dx)^2-(x/y)*d^2 y/dx^2

お礼

なるほど、

積の微分「{f(x)g(x)h(x)}'=f(x)'g(x)h(x)+f(x)g(x)'h(x)+f(x)g(x)h(x)'」と

式変換「(d/dx)*(dy/dx)=(d/dy)*(dy/dx)^2」を

使って

「-(1/y)*(dy/dx)+(x/y^2)*(dy/dx)^2-(x/y)*d^2 y/dx^2」を

導くわけですね！
あと、質問の時点で記してはいなかったのですが、

「dy/dx=-2」という条件があって、これを使うと質問時の「dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)」
を導く事ができました！

テキストでは、「dy/dx=-2 を用いて・・・」という注釈がなく（次の設問にはあるのにこの設問には無い；）
式変形の過程すらなく、いきなり

「z=(-x/y)*(dy/dx) ⇒ dz/dx ⇒ dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)」

が導かれており、分らずに悩んでいたので非常に助かりました！