P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

質問

P(x,y)dx+Q(x,y)dy
=(4x^3 y + 2x^2 y^2 + 4y^3 x + 2y^4)dx+(2x^4 + 4x^3 y + 2x^2 y + 4xy^3)dy
=0
の解き方を教えてください
dz=∂f/∂x + ∂f/∂yを利用してみましたが上手くいきませんでした

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

同次形微分方程式ですね。

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 を変形して、
dy/dx = -P(x,y)/Q(x,y)
= -(4x^3 y + 2x^2 y^2 + 4y^3 x + 2y^4)/(2x^4 + 4x^3 y + 2x^2 y + 4xy^3)
= -{4(y/x) + 2(y/x)^2 + 4(y/x)^3 + 2(y/x)^4}/{2 + 4(y/x) + 2(y/x)^2 + 4(y/x)^3}
= -(y/x){2 + (y/x)}/{1 + 2(y/x)}
です。

u = y/x と置くと、
x(du/dx) + u = -u(2u+1)/(1+2u).

変数分離形ですから、
∫du/{-u(2u+1)/(1+2u) - u} = ∫dx/x
と解けます。

左辺 = (-1/3)∫(1+2u)/{u(u+1)}du
= (-1/3)∫{1/u + 1/(u+1)}du
= (-1/3) log{u(u+1)} + (定数),

右辺 = (log x) + (定数)

より、{u(u+1)}^(-1/3) = Ax.　(Aは定数)
u(u+1) = B(x^-3)　(Bは定数)　と書いたほうが見やすいかな。

お礼

分かりました
ありがとうございました