逆関数の微分 dy/dx=1/(dx/dy)

質問

逆関数の微分はdy/dx=1/(dx/dy)と表せるらしいですが混乱してしまいよくわからなくなってしまいました。混乱の原因となった問題を通して教えてください。

(1)(x^3)'=3x^2 dy/dx=1/(dx/dy)を用いて、y=x^3の逆関数y=f(x)の導関数を求めよ
(2)rが有理数の時、(x^r)'=rx^r-1を証明せよ。

(1)例えばy=h(x)逆関数というのはこれをxについて解き、yとxを入れ替えて求めますよね。(1)の場合y=f(x)はx=y^3⇔y=x^(1/3)ですので、これを微分してy'=とすれば答えは求められるようです。でも、dy/dx=1/(dx/dy)を使う場合がわかりません。
df(x)/dx=1/(dx/dy)=1/3y^2=3^(-2/3)と書いてあります。
(2)はpが自然数のときy=x^(1/p)とするとx=y^pなので、dy/dx=1/(dx/dy)=1/py^(p-1)・・・・=1/px^(1/p-1)と回答が始まっています。

(1)(2)では逆関数の使い方がそれぞれ異なる気がします。簡潔にいうと「dy/dx=1/(dx/dy)の(dx/dy)の部分に来るものがわかりません。」(1)では逆関数（xについて解いてそれをさらにxとyを取り替えたもの）がその部分に来ているのに(2)ではただ単にxについて解いたものがきていますよね(ｘとyを取り替えるといる作業がない）。

まったくわからないので教えてください。ほんとによろしくお願いします！！

回答No.1

proto · ベストアンサー

y=f(x)の逆関数はy=f(x)をxについて解いてからxとyを入れ替えるのですが、逆関数の微分の場合はx,yを入れ替えて考えるとどっちがxだかyだかわからなくなると思います。

　　y=x^3
の逆関数を微分してみましょう。

まず肝心のy=x^3の逆関数ですが、最初から
　　x=y^3
と書いてしまいましょう。
yについて解く作業は省いてしまいます。

さて公式からdy/dxは
　　dy/dx=1/(dx/dy)
ですね。
ですからdx/dyが求まれば目的の微分は計算できることになります。
このとき
　　x=y^3
より
　　dx/dy=3y^2
ですね。
(普段見慣れないx= の式でも戸惑わないでくださいね)

さてめでたくdx/dyが求まったので。
　　dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(3y^2)
とわかります。
この微分のポイントは、dy/dxがyの関数として書かれているところです。
xの関数で書いた方がわかりやすいので、x=y^3の関係からdy/dxをxの関数に書き直せればベストですね。

お礼

ありがとうございました。

「最初からx=y^3について解きyについて解く作業は省いてしまいます。」とあります。では上の公式は使わなくても出来るが、このした時に便利なものと考えていいでしょうか。

もしそうなら、これからはこの方針で解こうと思います。

回答No.6

kkkk2222

最終稿　おわび

＞ちなみにこの問題は青チャートです。

を見て周章狼狽。
私は数研出版の好きで、信じてます。
毎年６月ごろ出る、最新受験問題にさえ殆どミスがないのです。
それで、これは自分が間違えたと、気が付きました。
訂正して幕を下ろします。

問題文を読み間違えました。
逆関数の微分は、文字通り逆関数を微分するでした。
逆関数の微分を使用した、元の関数の微分と思い込みました。・・・Ａ
y=x^3
x=y^(1/3)
dx/dy=(1/3)y^(-2/3)　ここでx、y入れ替えて読むと
dy/dx=(1/3)x^(-2/3)　で完成、dy/dxをyで表すなら（計算略で）
dy/dx=(1/3)y^(-2)　　　貴殿が書いた式です

”xとｙと入れ替えているか”　入れ替えていません、その必要がないからです。念のため手元にある、東京書籍の教科書をＳＣＡＮして、入れ替えてない事を確認しました。（詳細は後述）

これも　Ａ　の時の話です。

あとは、これが原因で・・・
貴殿の頭から私の投稿を全部削除して下さる様申し上げます。
重ねてお詫びいたします。

お礼

いえいえ、いろいろ助かりました。ありがとうございました。

回答No.5

mis_take

> でもなぜＶ＝ｆ^{-1}(ｒ)＝(ｒ/π)^{1/3}と書き換えることは出来ないのでしょうか。

ｒが半径，Ｖが体積という意味があるからです。
ANo3 に書きましたが，ｘ，ｙの場合は，それぞれ横軸（独立変数），縦軸（従属変数）という意味があるので，
それを強調したいしきは交換します（本質的なことではない）。

２ｘ^3－３ｙ^3－４＝０
のような書き方を陰関数表示と言います。
ｘ＝cosθ，ｙ＝sinθ （０≦θ≦π/2）
のような書き方を，媒介変数表示といいます。
これらは，関数 ｙ＝ｆ(ｘ) も逆関数 ｘ＝ｆ^{-1}(ｙ) も両方表しています。
本来，関数と逆関数は同じ関係を表すもので，どちらを独立変数あるいは従属変数と考えるか，見方が違うだけのことなんです。

回答No.4

kkkk2222

第二稿　貴殿のＨＮは、DANDYとひまわりdandelionの・・・
　と　念のため検索しましたら、dandelionはタンポポでした。

さて(1)をやってみました。
y=x^3
x=y^(1/3)
dx/dy=(1/3)y^(-2/3)
dy/dx=3*y^(2/3)
=3*((x^3)^(2/3))
=3*(x^2)・・・となり自分が何当然の事をやっているのか疑問が起こりました。

この中で　”逆関数の微分の公式を使っているのだろうか”
実は使っているのです。dxとdyをひっくり返して良いという根拠として。
が自分の中では全く無意識です。
”xとｙと入れ替えているか”　入れ替えていません、その必要がないからです。念のため手元にある、東京書籍の教科書をＳＣＡＮして、入れ替えてない事を確認しました。（詳細は後述）

微分記号は実に巧妙に出来ていて（ライプニッツ記述法？）
dx/dyは形式的に分数として扱えます。それどころか　y*dy=2x*dx　のようにも扱えます。（後述）

では”逆関数の微分の公式”は何のためにあるのか。
”dx/dyは形式的に分数として扱える”としっていれば、自明な式（？？）なのです（ちょと危険な発想かも）。

次に”逆関数の微分”はどんな時に使うのか？
それが(2)なのです。すなわち、元の関数が微分し難い時に有用です。
(1)は”逆関数の微分”の有用さが全く分からない問題なのです。
これも、念のため教科書と黄ＣＨＡＲＴ（と呼ぶのでしょうか？）を調べましたら、(1)形の出題は在りませんでした。
(1)形の出題は無用に生徒を混乱させるだけの”悪問”です。

では何故貴殿がこのような”悪問”に出会う羽目になったのか？？？

このあとは、書くべきないのですが・・・書かざるを得ません。

出題者（教師）の”質”に起因します。
数学を例にすると生々しいので、英語で経験した例をふたつ述べて、この稿を締めます。その前に　貴殿からＰＯＩＮＴを頂きました。ＴＨＡＮＸ。

＊Ｉ　want go ・・・という文に出会って教師に　何故（to)がないのかと訊きました
　　教師は困ったようで　とうとう、返事がありませんでした。
　何年か経ってから気がつきました。
　誤植（ミスプリント）だったのです。その文は英字新聞から・・・
　新聞に誤植はつきものです。

＊・・・not to do・・・ご存知のように不定詞の否定　not　は　to　の前ですよね。ところが洋書（言葉が古いですね）の中で・・・to　not do・・・形に何度か出会いました。教師に訊きました。ただ呻っているだけでした。幸い、ＮＡＴＩＶＥ　ＳＰＥＡＫＥＲが居ましたのでたずねました。返事は"It is OK"。使うらしいのです。教科書に載るのは５０年後でしょう。貴殿も決して使わないように。

お礼

ありがとうございました。

確かに僕の学校の教師"は"全く当てになりません。たまに質問しに行きますが、ここの方のほうが親切で格段に分かりやすいです。いつも感謝しています。

ちなみにこの問題は青チャートです。

回答No.3

mis_take

例えば，半径がｒの球の体積Ｖは
Ｖ＝ｆ(ｒ)＝πｒ^3 …(1)
で，その逆関数は
ｒ＝ｆ^{-1}(Ｖ)＝(Ｖ/π)^{1/3} …(2)
です。これを
Ｖ＝ｆ^{-1}(ｒ)＝(ｒ/π)^{1/3}
と書き換えることはしません。

ｙ＝ｆ(ｘ)＝ｘ^3 の逆関数は
ｘ＝ｆ^{-1}(ｙ)＝ｙ^{1/3} です。
ｘが横軸，ｙが縦軸という習慣に合わせるために，
ｙ＝ｆ^{-1}(ｘ)＝ｘ^{1/3}
と文字を交換することがありますが，本質的なことではありません。

ｆ'(ｒ) は，ｒが横軸，Ｖが縦軸のグラフ(1)上の点 (ｒ,Ｖ) における接線の傾きｍです。
ｆ^{-1}'(Ｖ) は，Ｖが横軸，ｒが縦軸のグラフ(2)上の点 (Ｖ,ｒ) における接線の傾きｎです。
図を考えれば
ｎ＝１/ｍ は明らかでしょう。

お礼

具体例ありがとうございました。

でもなぜＶ＝ｆ^{-1}(ｒ)＝(ｒ/π)^{1/3}と書き換えることは出来ないのでしょうか。この体積の関数の逆関数を求めても意味がない気がしますが、なぜ出来ないのでしょうか。

回答No.2

kkkk2222

Ｎ稿の第一稿

dandy_lion様

(1)を読んでいる内に段々腹が立ってきました。
　　のち程　教科書クリティークをするつもりですが
　　幾らなんでも、(1)は教科書の問題ではありません。
　　極論すれば(1)は極めて”悪問”で、忘れるのが得策です。

予定は
＊(1)が”悪問”たる由縁（理由）
＊教科書批判（教科書の嘘について）
＊文部省（文部科学省）批判
＊逆関数（yとxを入れ替えて）
＊逆関数の微分クリティーク（dy/dx=1/(dx/dy)は公式なのか？）
＊ｄｘ、ｄｙの使用法

です

　proto様はこのあたりに配慮して、
y=f(x)の逆関数はy=f(x)をxについて解いてからxとyを入れ替えるのですが、
逆関数の微分の場合はx,yを入れ替えて考えると
どっちがxだかyだかわからなくなると思います。

と極めて重要な示唆をされています。

　それでも貴殿は納得されていないはずです。
proto様ごめんなさい。

　ここまで書いてやっと腹の虫がおさまりました。
貴殿の混乱は誠に尤もです。
私は貴殿以上に混乱しました。　　to be continued