微分のdy dxの意味

質問

微分で、dy/dx=f '(x)とあります、これをdy=f '(x)・dxとするのは分かるのですが、
さらに逆にしてdx/dy=1/f '(x)というのも成立するのでしょうか？
例えばdy/dx=2x+5として、
dx/dy=1/2x+5も成立するのでしょうか？
もしこれが成立するなら、逆になってxをyで微分するっていうことになりますよね？

あと2回微分や3回微分でも同様なことができるでしょうか？

このあたりのことって教科書にも載ってないし、詳しい説明もないまま
ただ計算しているという感じになってしまってます。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

あるxのところでxを微小に△xだけ増加させた（あるいは減少させた）ときyが微小な△yだけ増加した（あるいは減少した）場合の変化の割合は△y/△xとなりますが、この△x→0に持っていった時の△y/△xの極限lim(△x→0)△y/△x=y'=dy/dxと定義しています。
連続関数y=f(x)に対して逆関数x=f^(-1)(y)=g(y)が存在するなら、
dy/dx=f'(x)=1/(dx/dy)=1/g'(y)
が言えるでしょう。

例で説明すると
y=f(x)=sin(x)
の場合、x=g(y)=sin^-1(y)
この場合、逆関数が存在する範囲
　-π/2<x<π/2,-1<y<1　…(★)
にx,yの変域や値域を制限すれば
y'=dy/dx=f'(x)=d(sin(x))/dx=cos(x)=√(1-y^2)
x'=dx/dy=g'(y)=d(sin^-1(y)/dy=1/√(1-y^2)
=1/y'=1/f'(x)=1/(dx/dy)
また
y'=1/x'=1/g'(y)=1/(dx/dy)
が成り立っています。
この関係はy=f(x)とx=g(y)が逆関数の関係が成り立つ(★)の変数の範囲が限定されている限り成り立ちます。

次の例として
y=f(x)=(x+1)^2-2=x^2+2x-1
の場合
この場合、逆関数が存在する範囲
　-1<x,-2<y　…(☆)
にx,yの変域や値域を制限すれば
逆関数x=g(y)=√(y+2)-1
y'=dy/dx=f'(x)=2(x+1)=2√(y+2)
x'=dx/dy=g'(y)=d(√(y+2)-1)/dy=1/(2√(y+2))
=1/y'=1/f'(x)=1/(dy/dx)
また
y'=1/x'=1/g'(y)=1/(dx/dy)
が成り立っています。
この関係はy=f(x)とx=g(y)が逆関数の関係が成り立つ(☆)のような変数の範囲が限定されている限り成り立ちます。

２次関数、３次関数や三角関数など簡単な関数でも、逆関数が存在するx,yの範囲が限定されてしまいます。つまり、y=f(x)のyに一定の値を与えた時、xの値が存在しなかったり、xの値が複数存在するようなxやyの変域や値域で考える限りでは、逆関数が存在しなくなり得るので、
dy/dx=1/(dx/dy)の関係が成り立たない。dy/dxが存在しても
dx/dyが存在しなかったり、定義できなかったりします。

微分は微視的な概念なので、xとyの間に互いに連続な関数関係があり、相互に一価関数であれば（そうなるようにx,yの範囲を限定し、相互に逆関数が存在するようにしてやれば）、
dy/dx=1/(dx/dy)の関係が成り立つようにすることができます。

高階の微分係数では、一般に
d^2(y)/dx^2≠1/(d^2(x)/dy^2)
d^3(y)/dx^3≠1/(d^3(x)/dy^3)
…
です。
定義に戻って考えたましょう。

例,y=f(x)=sin(x),x=sin^-1(y),(-1<y<1,-π/2<x<π/2)
d^2(y)/dx^2=-sin(x)=-y
(d^2(x)/dy^2)=y/(1-y^2)^(3/2)=sin(x)/cos^3(x)
∴d^2(y)/dx^2≠1/(d^2(x)/dy^2)

お礼

非常に分かりやすい回答で、納得できました。
ありがとうございました。

回答No.5

hugen

y = f(x)　の　接線は 、　　　　　y - b = f'(a)(x-a)
単調の場合には，取り得る y の各々の値に y = f(x) なるような x の一つの値が決まるから，x は y の函数である．よって x= g(y)　　　として，
x= g(y)　の　接線は 、　　　　　x - a = 1/f'(a)・(y-b)

dy = f'(x)dx　　と　すると
d(dy) = {f'(x)dx}'dx = f''(x)dxdx
d(dy)/dxdx = f ''(x)
d^2y/dx^2 = f''(x)
引っくり返すと
1/f''(x) = dx^2/d^2y = dxdx/ddy ≠ddx/dydy = d^2x/dy^2

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

とりあえず、dx/dy = 1/(dy/dx) は成立します。
これを、dx と dy の割り算として理解する方法も
無くはありませんが…　そのことが載っている教科書
を読みたければ、大学生用の微分幾何学のものを使う
ことになるでしょう。そこでは、dy/dx とか dx/dy
でなく、単独の dx や dy に「意味」が与えられます。

初等解析学の範囲で何とかしようと思うなら、
(x,y) をパラメータ表示する t があって
dx/dy = (dx/dt)/(dy/dt) ←{中央の / は割り算！}
= 1/{(dx/dt)/(dy/dt)} = 1/(dy/dx) とか、
dy = f'(x) dx は dy/dt = f'(x) dx/dt の意味
だとか、考えるといいのではないかと思います。
置換積分や簡単な微分方程式の解法に出てくる範囲なら、
この解釈でカバーできます。

微分幾何に分け入って dy に意味を持たせるにしても、
やたらに「無限小」とか「微小」とか言って解ったつもり
になるのは、止したほうが無難です。
貴方が「無限小」とは何かをよく知っているのでない限りは、
「蒟蒻屋は豆腐屋の隣」「豆腐屋は蒟蒻屋の隣」といった
説明でない説明になりがちです。

式や記号の「意味」は、定義そのものを了解し、定義に従うと
どんな定理、計算法則が成り立つか、その総体として理解する
ほうがいい。例え話は、あらぬ拡大解釈のモトになるだけで、
正しい理解に結びつきません。
貴方が、オイラーやライプニッツのような天才でなければ、
(不細工だから嫌いであっても)コーシー流に従うほうが確実。
無限小解析をするにしても、その基礎をしっかり学んで、
dy は「無限小」だからこうなる…と空想するのではなく、
dy がこういう性質を持つから「無限小」とはそんなもんなんだ
…と把握してゆくのが、常道でしょう。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

masics

dy/dxの意味はxを微小量dx変化させたときにyがどのくらい変化（dy）するかを表します．dx/dyも同じことです．このように考えれば逆数になることが感覚的にわかりませんか？

二階微分，三階微分についてはd^2y/dx^2とd^2x/dy^2は逆数の関係ではありません．

ちなみに大学に入ると偏微分（多変数関数の微分）というものがでてきて，偏微分では逆数と考えられないこともあります．そのような場合も日本語で考えれば，逆数にならないことなどは理解できます．高校数学ではつねに逆数になると考えておいて大丈夫だと思います．

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

spring135

＞例えばdy/dx=2x+5として、
dx/dy=1/2x+5も成立するのでしょうか？

成立します。

＞もしこれが成立するなら、逆になってxをyで微分するっていうことになりますよね？

要するに逆関数の微分の話です。

＞あと2回微分や3回微分でも同様なことができるでしょうか？

d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx

f=dy/dxとおくと

d^2y/dx^2=df/dx=gのとき

dx/df=1/gが成立します。

お礼

回答ありがとうございました。