- ベストアンサー
- 困ってます
微分記号（dy/dx）について質問です。
微分記号（dy/dx）について質問です。 例えば、 dy/dx=x という微分方程式を考えます。 両辺をxで積分すると、 ∫(dy/dx)dx = ∫x dx ・・・(1) となって ∫dy=∫x dx ・・・(2) ⇔ y = (1/2)x^2 + C （Ｃは積分定数）となります。 ここで質問です。(1)から(2)へ変形するときどうして、(dy/dx)dx = dx 、とできるのでしょうか？ dy/dx は、分数じゃなくて記号だと習ったのに、あたかも普通の数字や文字であるかのように計算（約分）できるのはどうしてですか？形式的にしか理解していないのでその計算の意味を教えてください。 よろしくお願いします。
- mapmap1027
- お礼率83% (126/151)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数5
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
- 回答No.2
- rabbit_cat
- ベストアンサー率40% (829/2062)
∫(dy/dx)dx = ∫dy は、（右辺→左辺と見れば）置換積分の公式そのものです。 ＞あたかも普通の数字や文字であるかのように計算（約分）できるのはどうしてですか？ ライプニッツという頭のいい人が、微分・積分の上手い表記法を編み出したからです。習ったとおり、「dy/dx は、分数じゃなくてあくまで記号」です。 とは言ったものの、実際、見かけ上、分数みたいに計算してたいていうまく行きます。高校段階ではなんとなくうまく行くとしか説明しようがありません。大学に行けばdy/dxではなくて、dx、dyといった単体の記号の意味をもう少し深く勉強することになります。
その他の回答 (1)
- 回答No.1
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
dx や dy に単独での意味を与えて dy/dx を普通の分数と考える体系もあるのですが、 高校や大学初年級では習いません。 (dy/dx)dx = dy は、そっちの世界の式です。 dy/dx を分数と考えないのならば、∫記号をつけて ∫(dy/dx)dx = ∫dy と書きましょう。 この式の右辺は、覚えやすいように 少し文学的な書き方がしてありますが、 より散文的には ∫(dy/dx)dx = y+C (Cは積分定数) です。 これは、微積分学の基本定理 「(定)積分は微分の逆操作である」そのものです。
質問者からのお礼
ありがとうございます。 (dy/dx)dx = dy というだけでは意味がないのですね・・。
関連するQ&A
- dxやdyの本当の意味は?
宜しくお願いします。 昔、高校で dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。 が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。 「両辺をdy倍して…」等々、、、 また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。 結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか? (何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました) 一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい のにとも思ったりします。 実際の所、 dxの定義は何なんですか? dyの定義は何なのですか? 本当はdxとdyはばらばらにできるのですか? どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- dy/dx・dxは置換積分を使ってdy？
次の微分方程式を解け 2yy'=1 とありました。解答は -------------------------------- 2y・dy/dx=1の両辺をｘで微分して ∫2y (dy/dx) dx=∫dx 置換積分法により ∫2y dy=∫dx ゆえに y^2=x+C （Cは任意定数） -------------------------------- となっています。ここで疑問に思ったのが ”置換積分法により”という箇所です。 これはdy/dx・dxを”約分して”dyにしてはならず、 ”置換積分法により”dyにしなくてはならない、 ということが言いたいのだと解釈しました。 疑問１． そこで、ここにおける”置換積分”とは具体的には どのような作業を指すのでしょうか？ 疑問２． 以下は全て同じことを表現したいと意図している のですが、誤解を招くことはないでしょうか？ 2y・dy/dx・dx 2y (dy/dx)・dx 2y dy/dx dx 2ydy/dx dx 2y*dy/dx*dx 2yとdyの間に半角スペースを入れた方がよいか ・と*と半角スペースどれが妥当か dy/dxは（）でくくるべきか などなどです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- dy=dy/dx・dxの求め方
dy/dx=dy/dx から両辺にdxを掛けたようになっておりますが、 dy=dy/dx・dx を求めるために 微分法等の公式を活用してどのようにすれば求められるのでしょうか？ dy/dx はyをxで微分するということを表しており、dy/dx は分数とは異なると理解しておりますが・・・ どうぞ宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- dy/dx (y+1)を積分して(y+1)^2?
次の微分方程式の一般解を求めよ。 (1+y) (d^2y)/(dx^2) + (dy/dx)^2 = 0 dy/dx = p とおくと、 (1+y)p (dp)/(dy) + p^2 = 0 となり、 (i) (1+y) (dp)/(dy) + p = 0 (ii) p = 0 の2通りが考えられる。 (i)の場合 1/p (dp)/(dy) + 1/(1+y) = 0 の両辺をyで積分して log |p(y+1)| = C_1 つまり、 dy/dx (y+1) = C_1 両辺をxで積分して、 (y+1)^2 = C_1x + C_2 ←？ という解を得る。 ・・・と本に書いてあります。しかし、 「両辺をxで積分して」の計算は間違ってないですか？ 自分が計算すると、 dy/dx (y+1) = C_1 ∫ (y+1) dy/dx dx = C_1∫dx ∫ (y+1) dy = C_1∫dx ∫y dy + ∫1 dy = C_1∫dx y^2/2 + y = C_1x + C_2 になります。 積分して(y+1)^2になるなら、元々は2(y+1)じゃないといけないですよね、きっと。 ということで、どなたか検算をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 導関数の記号 dy/dx の意味は？
高校の先生から、微分（導関数）の記号：dy/dx は、１つの記号であって、 分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。 しかし、逆関数での微分では、dy/dx を 1/(dx/dy)にしたり、積分するとき の記号では、最後に dx をつけ、あたかも分母だけをつけた形にしています。 初めの dy/dx は、「dy は分子、dx は分母」と素直に考えたほうが いいのではないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校物理におけるdy/dxの扱い
高校物理におけるdy/dxの扱い 親戚の子の高校物理の問題（高難易度）の解説を見ていて気になることがありました。 途中で微分の式が出てくるのですが、 （ナントカ）・dy/dx=（カントカ） のような式が出てきたのですが、その直後に 両辺にdxをかけて （ナントカ）・dy=（カントカ）・dx というような変形をして解説が続いていました。 自分は高校生の時に、数学で「dy/dxは分数ではなく微分の記号。ただし合成関数などの微分では分数のように扱える」とかのように習った記憶があります。しかしこの解説では、dy/dxをもはや分数と同様に扱っているように見えました。 物理の世界ではこういった式変形はよくあるのでしょうか？ また高校物理でこういった表現をすることに支障は無いのでしょうか？ ちなみに自分は数学は大学受験レベルまで、物理は高校の授業レベルの知識ですので、それを考慮して答えていただければ幸いです。
- ベストアンサー
- 物理学
質問者からのお礼
ありがとうございます。 高校では形式的なことしか習わず、理解が中途半端だった気がします