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dy=dy/dx・dxの求め方
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質問者さんは、（いいかげんな）工学系の本を読まれてるので、混乱していると思います。 数学の本を読めば、厳密に書かれています。 "f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことにする．すなわちこの定義によれば dy＝f'(x)・△x. (4) 今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、x'＝１だから、 dx＝△x. 故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である．これを (4) に代入すれば、 dy＝f'(x)dx (5) これを dy/dx＝f'(x) (6) と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の意味を有するから、 dy/dx は商としての意味を有する。"
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- andybell
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>dy/dx はyをxで微分するということを表しており、dy/dx は分数とは異なると理解しておりますが・・・ これは正しいです。 dy/dxでひとつの記号であり、分数ではありません。 （ただ、微分はその定義から、“分数の極限”とはいえるでしょう） 置換積分を例に挙げると、y=g(x)とおくとき、 ∫f(y)dy=∫f(g(x))(dy/dx)dx ですよね。 本来ならば、ちゃんとdy/dxを求め、右辺に代入し、積分するのが正当な流儀なはずです。 ただ、dy/dx=g’(x)を「あくまで形式的に」dy=g’(x)dxと書くことがあります。このほうが計算が簡単になりますからね。 ですから、ご指摘の >dy/dx=dy/dx から両辺にdxを掛けたようになっておりますが にあるように、まさにdxを掛けた「ように」なっているのです。 このことを認識せずに「形式的に」計算している人は結構多いのではないでしょうか。 なので、よい“気付き”だと思います。 で問題としている >dy=dy/dx・dx を求める ですが、これはまずdy/dxを求めて、dy=dy/dx・dxの式に「形式的に」当てはめればよいでしょう。 （質問者は置換積分を問題としていると、こちらで勝手に判断させて頂きました。もし違っていたらごめんなさい。でも参考になると思います。）
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お礼
fjfsgh様ありがとうございました。 「f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことにする．すなわちこの定義によれば dy＝f'(x)・△x」という定義があったのですね。