微分（dy/dxとそれを用いた計算について）

質問

y = x^2/4
において
dy/dx = x/2
ですが、
dy/(1/2)dx = x
としても正しいですよね？
これができることを示す公式あるいは定理って何ですか？
というかそもそもdyやdxって普通にひとつの文字みたいに扱っていいですか？
その理由は何ですか？

回答No.2

noname#195146 · ベストアンサー

微分の基本ってyがxの関数y(x)だとして、lim[h→0]{(y(x+h)-(x)/h)=dy/dxってことでしたね。そういう定義から考えることもできますが、このご質問でははやめておきます。。

　もっと素朴な考え方では、yがxの変化Δxに対して（Δ：デルタは変化を示す記号としてよく用いられる）、Δyだけ変化するとき、その変化率をΔy/Δxで表すとします。例えばΔx＝1秒で、位置の変化Δyが10mなら、Δy/Δx＝10m/s、秒速10メートルということです。

　さらに、Δxが限りなく0に近づくとしてdxと書き、そのdxに対応するΔyをdyとすると、dy/dxです。現代の数学としては、大雑把過ぎて駄目なんですが、物理なんかではよく使います。近似式にしたときに「2次の微小量を落とす」なんてこともします。

　数学として駄目な理由は、それが無限小という曖昧な定義に基づくもので、既にそれでは破たんする場合があることが分かっているからです（どんなとき破綻するか忘れましたが^^;）。そのため数学では、「δ-ε（デルタ・イプシロン）論法」という厳密な方法に基づいた考え方をします。

　ただ、初等的なものでは破たんしないのです。破たんしないから、昔の数学では使っていたわけです。物理なんか、数学のごく一部を借用しているだけです。無限小でやっても、破たんなんかしません。

　この場合も無限小でいいでしょうね。dy/dyという分数ということです。Δy/Δxという分数で分子分母を極限まで小さくしただけですから。それでちゃんと、例えば曲線の接線の傾きとかになります。

　分数なんだから、dy/dx=f(x)であれば、dy=f(x)dxとして、∫dy=∫f(x)dxとでき、y=∫f(x)dxです。それで何の問題もありません。

>dy/(1/2)dx = xとしても正しいですよね？

　上記のような考え方で、破たんしない範囲で使うなら、それでいいです。逆に言えば、破たんする可能性があり、破たんしないように使うのはそうする人の義務となります。それで間違った結果を得たら、そうした人の責任です。

　定理とか求めるのは無理でしょう。数学としては（数学は必ず最も正しいものを求めることに留意）認めてくれないでしょう。間違いなくできる方法は、数学としては既に別のもを提示してあるわけです。

　例えば、dy/dxと書きはするけど、d/dx(y)と書くこともあり、d/dxはある種の演算子だったりしますからね。分数と同じ、なんて大雑把なことは数学は認めてくれません。結果的にそうできることもある、というだけのことです。さらに例えば、2階微分になり、d^2y/dx^2となると、もう分数にしようがありません。一方、演算子と考えるなら、d^2/dx^2(y)であり、何階微分であっても一貫しています。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

dy/dx = dy/dt dt/dx.

お礼

ありがとうございました。