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立体V = {(x,y,z)|x^2 + y^2 <= z <= 1}
立体V = {(x,y,z)|x^2 + y^2 <= z <= 1}の体積|V|を求めよ。 という問題で、まず、答えを見ずに自分で x^2 + y^2 <= 1 x^2 <= 1 - y^2 x <= ±√(1 - y^2) ∫∫∫_V dxdydz =∫[0,1]dz 2*∫[0,1]dy 2*∫[0,√(1-y^2)] (x^2 + y^2) dx =π/2. …と計算しました。本の答えは |V| = ∫[0,1] (∫∫_(x^2 + y^2 <= z) 1 dx dy) dz = ∫[0,1]πz dz =π/2. …となっています。これでは肝心の ∫∫_(x^2 + y^2 <= z) 1 dx dy の部分が分かりません。 その結果が πZ になっているので どこかに Z が紛れ込んでるはずですがどこか分かりません。 この式を ∫[a,b] dx ∫[c,d] 1 dy の形で教えて下さい。 お願いします。
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>∫[a,b] dx ∫[c,d] 1 dy >の形で教えて下さい。 4∫[0,√z]dy∫[0,√(z-y^2)]dx x=rcosθ y=rsinθ に変換すれば、 4∫[0,π/2]dθ∫[0,r]r^3dr
お礼
今、やっと計算が終わりました。 ぴったり合いました。 √(z-y^2)の方は質問前に試してみたのですが √(z)の方は考え付かなかったです。 ありがとうございました!