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ナビエストークスについてです。

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ナビエストークについてですが,
P(x,y,z:t) q(x+dx,y+dy,z+dz:t+dt) のp-q間のX座標のみの速度変化を求めると
(X,Y,Z):(u,v,w)より
du=(du/dt)dt+(du/dx)dx+(du/dy)dy+(du/dz)dz となりますよね

そこで(du/dt)を求めて,
(dx/dt)=u, (dy/dt)=v, (dz/dt)=w になりますよね

(du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz)
となりますよね,
同様にしてy,z成分を求めると

X: (du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz)
Y: (dv/dt)=(dv/dt)+u(dv/dx)+v(dv/dy)+w(dv/dz)
Z: (dw/dt)=(dw/dt)+u(dw/dx)+v(dw/dy)+w(dw/dz)
ですよね
これらをベクトル演算子を用いると対流項は
なんで(Vgard)Vになるのですか?
V(gradV)ならわからなくもないんですが.
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回答 (全1件)

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レベル13

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成分表示で
(1)  V = (u,v,w)
(2)  grad = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ですから,形式的に V grad という内積を作ると
(3)  u(∂/∂x) + v(∂/∂y) + w(∂/∂z)
というスカラー演算子です.
これを(1)に作用させれば,
(4)X 成分:u(∂u/∂x) + v(∂u/∂y) + w(∂u/∂z)
(5)Y 成分:u(∂v/∂x) + v(∂v/∂y) + w(∂v/∂z)
(6)Z 成分:u(∂w/∂x) + v(∂w/∂y) + w(∂w/∂z)

V (grad V) ならわからなくもない,というのは変ですよ.
grad はスカラーに作用する演算子で,演算の結果はベクトルですよ.

ところで,kk101 さんは
X: (du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz)
と書かれていて,左辺の時間微分も右辺の時間微分も d/dt ですが,
違いは大丈夫ですよね.

最後に,(V grad)V という表現は直角座標の場合のみ有効です.
一般の座標では微分演算が基底ベクトル(すなわち,座標軸方向の単位ベクトル)
にも作用するので,上のようにはなりません.
一般の座標に使える表現は
(7)  grad{(1/2)V^2} + rot V × V
です.


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