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コーシー・リーマンの関係式の証明
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- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
はて、f(z)=u(x,y)+iv(x,y) というだけでコーシー・リーマンの関係式って成り立ちますか？たとえば、u(x,y)=x、v(x,y)=0でも成り立ちますか？ 先刻ご承知でしょうけれども、コーシー・リーマンの関係式というのは偏微分方程式です。そして、これを満たすものを解析関数と呼ぶ。 確かに複素関数論では専ら解析関数ばかりを相手にします。ですが、どんなf(z)=u(x,y)+iv(x,y)でもコーシー・リーマンの関係式を満たすという訳じゃないです。 だから、u(x,y)+iv(x,y)がどういう性質を持つ関数であるかを決めて、それを前提にしない限り、証明しろったって問題として成立しません。 No.1ではi（∂f/∂x）＝（∂f/∂y）を前提になさっていますね。
- rangeru
- ベストアンサー率34% (15/44)
(df/dx)*(dx/dz)=(df/dy)*(dy/dz)って成り立ちますか？ ｆはｚの関数ではなくuとｖの関数なので上式は普通の微分ではなく、偏微分になり、式自体が成り立たないと思うのですが。 とりあえず簡単な証明 ｘ方向（実軸）の変化とｙ方向（虚軸）の変化は直交し、複素平面では虚数iを用い、 i（∂f/∂x）＝（∂f/∂y） と表現できます。ここで、f＝u＋ivを代入すると、 i（∂u/∂x）－（∂v/∂x）＝（∂u/∂y）＋i（∂v/∂y） となり、実部と虚部の関係でコーシー・リーマンの関係式が証明できた。 となります。詳しくはヴィジュアル複素解析などを参照してください。
お礼
ありがとうございます。やっぱり (df/dx)*(dx/dz)=(df/dy)*(dy/dz) はあやしいですね。 教科書を見ても、微分したやつをｘ軸方向、ｙ軸方向の両方から近づけるってやつしかないようです。 教えてくださったやつは少し簡単そうですね。
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