複素関数の導関数

質問

微分の定義
　　　　lim{Δz→0} {f(z + Δz) - f(z)}/Δz
に立ち戻らずに偏微分などを使って複素関数の導関数を求めたいのですが。

　　　　w = f(z) = u + iv, z = x + iy　（x,y,u,vは実数）
として
　　　　f'(z) = dw/dz = (d/dz)(u + iv)
までは合ってますよね？

ここから
　　　　du/dz = (∂u/∂x)(∂x/∂z) + (∂u/∂y)(∂y/∂z)
として
　　　　∂z/∂x = 1, ∂z/∂y = i
より
　　　　du/dz = ∂u/∂x - i ∂u/∂z
同様に
　　　　dv/dz = ∂v/∂x - i ∂v/∂z
としてしまっていいのでしょうか？

実際の例としてf(z) = sin(z)を例に教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

x=x(z), y=y(z) というわけではないから，
それはちょっとまずいですよ．

(1)　　　　f'(z) = (∂u/∂x) + i(∂v/∂x) = -i (∂u/∂y) + (∂v/∂y)
です．
Cauchy-Riemann の関係式
(∂u/∂x) = (∂v/∂y),　　　(∂u/∂y) = -(∂v/∂x)
にご注意下さい．

実関数ですと，増分δのゼロへの近づき方は正の側からと負の側からの２通りだけです．
もちろん，どちらから近づいても同じ変化割合にならないと微分可能とは言いませんね．
複素関数ですと，増分δ=Δz のゼロへの近づき方は無限にあります．
δ= h + ik として(h,k は実数)，h:k をどのような比でゼロに近づけても，
変化割合が同じになるときに微分可能といいます．
この要請から Cauchy-Riemann の関係式が出てきます．

詳細は複素関数論のテキストを参照下さい．

お礼

> Cauchy-Riemann の関係式
> (∂u/∂x) = (∂v/∂y),　　　(∂u/∂y) = -(∂v/∂x)
を満たしていれば、
> (1)　　　　f'(z) = (∂u/∂x) + i(∂v/∂x) = -i (∂u/∂y) + (∂v/∂y)
のどちらを使ってもf'(z)が求まると言う事ですね。

複素解析の本は持っているのですが、質問に書いた定義しか載っていなくて
実際の初等関数の例が示されていなかったもので。

偏微分について今一よく分かってなかったのですが
> x=x(z), y=y(z) というわけではないから，
> それはちょっとまずいですよ．
でちょっと分かった気がします。

ありがとうございました。