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複素関数の正則性。

誤って、回答締め切りをしてしまったため、再度立てさせていただきます。すみません。 領域 D が実軸に関して対称であると仮定する。w = f(z) が正則ならば,w =¯f(¯z). も正則であることを示せ。 という問題が分かりません。 最終的に、「コーシー・リーマンの関係式を満たすので正則」と結論づけたいです。 z=x+iy として、f(x-iy)とします。 fが具体的に与えられていないため、どのように∂u/∂xや∂v/∂yなどの計算を行えば良いのかが分かりません。 どうすれば良いのでしょうか? よろしくお願いします。

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回答No.1

fが具体的には与えられていませんが、fは一般にz=x+iyとしたとき、  f=U(x,y)+iV(x,y) (1) なる、実部と虚部からなる関数であると書けます。これと共役な関数f*は、  f*(z)=U(x,y)-iV(x,y) (2) であり、設問では変数も共役なので、  f*(z*)=U(x,-y)-iV(x,-y)=U*+V* (3)   となります。 コーシー・リーマンの定理によれば、関数fが領域Dで正則であることは、uとvがDで全微分可能であり、コーシー・リーマンの方程式  Ux=Vy, Uy=-Vx を満たすこととあります。ところで、(3)の実部をx,yでそれぞれ偏微分すると、  U*x=Ux=Vy  U*y=-Uy(=-Vx) となります。ここに、(3)の虚部に注目し、これをxで偏微分すると、  V*x=-Vx となり、  U*y=-V*x が導出されます。 ここから、f*(z*)が、コーシー・リーマンの方程式を満たし、正則であることが示せます。 というのでどうでしょうか?

reine1
質問者

お礼

とてもわかりやすかったです。 助かりました、ありがとうございました。

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