- 締切済み
微分可能と正則
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
みんなの回答
- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
昔のことなので自信はありませんが、 ω＝ｆ(ｚ)がZ＝aで正則である。 ですが、 a を含むある（開）近傍 U が存在して U の中の任意の点で、微分可能である。 という意味だったかと思います。 確認できたら後で補足します。
- KENZOU
- ベストアンサー率54% (241/444)
＞つまりω＝ｆ（ｚ）がｚ＝a∈Dで微分可能であるは 一言で言うとなんですか？ 関数ωはz＝aで連続である。 ＞ｚ＝aで正則であることは、一言で言うとなんですか？ ｚ＝aで微分可能である。
- KENZOU
- ベストアンサー率54% (241/444)
＞いまいち分からないので え～っと、＃１でご紹介した参考ＵＲＬの「正則関数」を横において参照しながら以下読んでください。複素平面は縦軸が虚軸（で横軸が実軸で構成されます。複素数ｚはこの平面上の1点ですね。具体的には ｚ＝ｘ＋iｙ (1) と書かれます。従ってｚ∈Ｄで定義された複素関数ｆ（ｚ）のｚでの微分は参考URLに書かれているとおり df/dz＝lim[△ｚ→０]f(ｚ＋△ｚ)／△ｚ (2) で定義されています。実関数の微分は dg/dx＝lim[△ｘ→０]f(ｘ＋△ｘ)／△ｘ (3) ですから、複素関数の微分計算技術は実関数と同じになります（例えばf(ｚ)=ｚ^2、dｆ/dｚ=2ｚ等）。 実関数の微分で△ｘ→０は点ｘを中心に右から迫る場合と左から迫る場合の2通りの極限を意味していますね。 －→－－ｘ－－←－ ｜△ｘ ｜△ｘ ｜ 同様に、複素関数の場合、△ｚ＝△ｘ＋ｉ△ｙですから△ｚ→０は△ｘ→０と△ｙ→０を意味します。参考ＵＲＬに書かれている「実軸方向および虚軸方向に沿っての微分」の意味はこれで分かると思います。そこでＵＲＬをさらに読み進めると、コーシー・リーマンの関係式に行き着きますが、これは”点ｚで微分可能ということは実軸方向および虚軸方向に沿っての微分が相等しなければならない”ということからでてくる結果なのですね。 ＵＲＬからの引用 『コーシー・リーマンの関係式が成り立つとき、すなわち微分可能であるとき、その関数は「正則である」といいます。また、定義域中の任意の点でコーシー・リーマンの関係式が成り立つ関数のことを「正則関数」といいます。 』ということでいかがですか。
お礼
返信、どうもありがとうございます。 つまりω＝ｆ（ｚ）がｚ＝a∈Dで微分可能であるは 一言で言うとなんですか？ ｚ＝aで正則であることは、一言で言うとなんですか？
- KENZOU
- ベストアンサー率54% (241/444)
以下のサイトが参考になると思います。 http://www-ise2.ise.eng.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/ ↓ 勉強用 目次 ↓ 数学解析 ↓ 正則関数
お礼
返信、ありがとうございます。 いまいち分からないので、まとめていただくとうれしいのですが・・・
関連するQ&A
- 複素関数が正則であるための条件を求める
以下の画像のような条件で 1.f(z)がz=0で微分可能であるためのa,bの条件を求めよ 2.f(z)がz=0で正則であるためのa,bの条件を求めよ という問題があるのですが2番がわかりません。 1番はu,vをそれぞれx,yで偏微分してコーシー・リーマンの関係式にあてはめると a(1 + b) = -1 になりました。 2番がわかる方、計算するための条件、計算手順などを教えていただけませんでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則性について。
--------------------------------------------------- f(z)=1/(bar(z)) z = x + iy とし z ≠ 0においてf(z)が正則であるかどうか判定せよ。 また、 Ｒ>０に対して複素積分 ∫_[|z|=R]f(z)dz の値を求めよ --------------------------------------------------- という問題なのですが、 u=x/x^2＋y^2, v=u/x^2＋y^2とすると、 ∂u/∂x = y^2-x^2/(x^2＋y^2)^2 ∂v/∂y = x^2-y^2/(x^2＋y^2)^2 となり、コーシー・リーマンの判定式を用いると、 ∂u/∂x≠∂v/∂yとなり、条件を満たさないので、 f(z)は正則ではないという結果が出ます。 f(z)が正則ではないのは、(bar(z))=0で特異点を持つためだと思うのですがこの問題の場合、z≠0で除外されていますよね？ この場合、正則なのでしょうか？ おそらく、特異点の捉え方がよくわかっていないのだと思います。 また、 次の問題はコーシーの積分公式で求めると思うのですが、 この公式は、bar(z)の場合にもそのまま当てはめてよいのでしょうか？ ご指導ご鞭撻の程、宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。
f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。 解答 f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z = lim[z->0] z~ となり、z=0で微分可能。 z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、 z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。 …と載っているんですが、微分可能性にはついては先ほど質問し解決しました。 今度は正則について確認です。 f(z)={√(x^2+y^2)}^2 =x^2+y^2 =u+iv で 実部uはx^2+y^2 虚部vは0 u_x = 2x ≠ v_y =0 v_x = 0 ≠ u_y = 2y これらが一致しないので正則ではない …という答えでいいですか？ 間違っていたら訂正をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(z)=|z|^2はz=0で微分可能ではあるが、正則ではないことを示
f(z)=|z|^2はz=0で微分可能ではあるが、正則ではないことを示せ。 解答 f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z = lim[z->0] z~ となり、z=0で微分可能。 z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、 z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。 …と載っているんですが、 lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z = lim[z->0] z~ の、いきなりz~になるところが分かりません。 どうやってz~を導くのか教えて下さい。 それと、この場合、f(0)で極限値をもてば、 z=0において微分可能と呼べるんですよね？ lim[z->0] z~の極限値は0ということでいいですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則関数に関する問題で・・・
次の問題がよくわからないので良かったら教えてください。 Ｑ,ｆ（ｚ）＝（e＾iｚ―e＾-iｚ）/２i :z=x+iyとする。 1. u(x,y)=Re(f(z)), v(x,y)=Im(f(z))を求めよ。 2.コーシー・リーマンの方程式を用いてｆ（ｚ）が正則となる領域を求めよ。 １のほうは複素数になっちゃうんですが自信がないのでどうかお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素微分の存在→正則の証明
複素関数fの複素微分が存在するなら、その関数は正則であるということを証明するプロセスは複素関数論の教科書にはすべて載っていると思います。 私の本では複素微分df/dzにおいてdz=h+ikとして、k=0でh→0としたものと、h=0としてk→0としたものが一致しなければならないということから正則であることを誘導しています。複素微分による２つの特殊な例を適用したように見えるのですが、これで演繹的に証明したことになるのでしょうか。 これに関連して、正則とはコーシーリーマンの関係が成立することであり、それが正則の定義と考えていいのでしょうか。つまり正則ならコーシーリーマンの関係式が成立することを証明せよ、というようなことはないと思っていいでしょうか。 なお、正則→複素微分の存在という証明が別途出てきますが、こちらは平均値の定理とコーシーリーマンの式で演繹的に証明できたような印象なのですが。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。 納得できました。